Als Voraussetzung zu dieser Lerneinheit sollten Sie sich zunächst mit Netzen und Konvergenz befassen, die eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
abzählbarer Umgebungsbasis dargestellt.
Seien
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
(
Y
,
T
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}
topologische Räume ,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Netze
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X_{I}}
X
{\displaystyle X}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
∈
Y
I
{\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}\in Y_{I}}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
lim
x
i
⟶
T
X
x
o
T
Y
f
(
x
i
)
=
f
(
x
0
)
:⟺
∀
(
x
i
)
i
∈
I
⟶
T
X
x
0
:
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
⟶
T
Y
f
(
x
0
)
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
⟶
T
Y
f
(
x
0
)
⟺
∀
U
∈
U
T
Y
(
f
(
x
0
)
)
∃
i
U
∈
I
∀
i
≽
i
U
:
f
(
x
i
)
∈
U
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle {\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\lim _{x_{i}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{X}}{\longrightarrow }}x_{o}}}}f(x_{i})=f(x_{0})\,&:\Longleftrightarrow &\forall _{(x_{i})_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{X}}{\longrightarrow }}x_{0}}\,:\,(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})\\(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})&\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succcurlyeq i_{U}}:\,f(x_{i})\in U\\\end{array}}}
Dabei bezeichnet "
≽
{\displaystyle \succcurlyeq }
i
≽
i
U
{\displaystyle i\succcurlyeq i_{U}}
I
{\displaystyle I}
Bearbeiten
Seien
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
(
Y
,
T
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}
topologische Räume ,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
∀
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
o
)
)
∃
U
δ
∈
U
T
X
(
x
o
)
∀
x
∈
X
:
x
∈
U
δ
⟹
f
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle \forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }}
Bemerkung - Strukturgleichheit Epsilon-Delta-Kriterium
Bearbeiten
Diese Strukturgleichheit wird nun noch einmal vergleichend für topologische Räume betrachtet.
In der Analysis ist das
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
D
:
|
x
−
x
o
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
f
(
x
o
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,|x-x_{o}|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_{o})|<\varepsilon }
In normierten Räumen ersetzt man den Betrag durch eine Norm
‖
⋅
‖
D
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {D} }}
‖
⋅
‖
W
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {W} }}
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
D
:
‖
x
−
x
o
‖
D
<
δ
⟹
‖
f
(
x
)
−
f
(
x
o
)
‖
W
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,\|x-x_{o}\|_{\mathbb {D} }<\delta \Longrightarrow \|f(x)-f(x_{o})\|_{\mathbb {W} }<\varepsilon }
In metrischen Räumen kann man den Abstand zwischen zwei Elementen im Raum messen. Der Ausdruck
‖
x
−
x
o
‖
D
{\displaystyle \|x-x_{o}\|_{\mathbb {D} }}
x
{\displaystyle x}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
d
D
(
x
,
x
o
)
{\displaystyle d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})}
d
W
{\displaystyle d_{\mathbb {W} }}
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
D
:
d
D
(
x
,
x
o
)
<
δ
⟹
d
W
(
f
(
x
)
,
f
(
x
o
)
)
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})<\delta \Longrightarrow d_{\mathbb {W} }(f(x),f(x_{o}))<\varepsilon }
Verallgemeinert man den Ansatz auf topologische Räume drückt man die
d
D
(
x
,
x
o
)
<
δ
{\displaystyle d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})<\delta }
x
∈
U
δ
{\displaystyle x\in U_{\delta }}
x
{\displaystyle x}
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
∀
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
o
)
)
∃
U
δ
∈
U
T
X
(
x
o
)
∀
x
∈
X
:
x
∈
U
δ
⟹
f
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle \forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }}
Bearbeiten
Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen
(R1)
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
(R2) das
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
Sei
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
I
:=
U
T
X
(
x
o
)
{\displaystyle I:={\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}
U
1
≽
U
2
:⟺
U
1
⊆
U
2
{\displaystyle U_{1}\succcurlyeq U_{2}:\Longleftrightarrow U_{1}\subseteq U_{2}}
Ohne Einschränkung seien die Netze
(
x
U
)
U
∈
I
{\displaystyle (x_{U})_{U\in I}}
x
U
∈
U
{\displaystyle x_{U}\in U}
(
x
U
)
U
∈
I
{\displaystyle (x_{U})_{U\in I}}
x
U
∈
U
{\displaystyle x_{U}\in U}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Sei nun
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
o
)
)
{\displaystyle U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}
(
x
U
)
U
∈
I
{\displaystyle (x_{U})_{U\in I}}
x
U
∈
U
{\displaystyle x_{U}\in U}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
(
f
(
x
U
)
)
U
∈
I
{\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in I}}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
Wegen der Konvergenz des Bildnetzes
(
f
(
x
U
)
)
U
∈
I
{\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in I}}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
U
δ
∈
I
{\displaystyle U_{\delta }\in I}
U
≽
U
δ
⟺
U
⊆
U
δ
{\displaystyle U\succcurlyeq U_{\delta }\Longleftrightarrow U\subseteq U_{\delta }}
gilt:
f
(
x
U
)
∈
U
ε
{\displaystyle f(x_{U})\in U_{\varepsilon }}
Da die Elemente
x
U
{\displaystyle x_{U}}
(
x
U
)
U
∈
I
{\displaystyle (x_{U})_{U\in I}}
U
{\displaystyle U}
x
U
∈
U
{\displaystyle x_{U}\in U}
U
≽
U
δ
⟺
U
⊆
U
δ
{\displaystyle U\succcurlyeq U_{\delta }\Longleftrightarrow U\subseteq U_{\delta }}
x
U
∈
U
⊆
U
δ
{\displaystyle x_{U}\in U\subseteq U_{\delta }}
∀
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
o
)
)
∃
U
δ
∈
U
T
X
(
x
o
)
∀
x
∈
X
:
x
∈
U
δ
⟹
f
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle \forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
Sei
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X_{I}}
Netz , das in
X
{\displaystyle X}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
∈
Y
I
{\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}\in Y_{I}}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
Um die folgende Aussage
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
⟶
T
Y
f
(
x
0
)
⟺
∀
U
∈
U
T
Y
(
f
(
x
0
)
)
∃
i
U
∈
I
∀
i
≽
i
U
:
f
(
x
i
)
∈
U
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})&\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succcurlyeq i_{U}}:\,f(x_{i})\in U\\\end{array}}}
zu zeigen, sei nun
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}
Mit dem
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
U
δ
∈
U
T
X
(
x
0
)
{\displaystyle U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{0})}
x
∈
U
δ
{\displaystyle x\in U_{\delta }}
f
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle f(x)\in U_{\varepsilon }}
Mit der Konvergenz von
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X_{I}}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
i
U
δ
{\displaystyle i_{U_{\delta }}}
i
≽
i
U
δ
{\displaystyle i\succcurlyeq i_{U_{\delta }}}
x
i
∈
U
δ
{\displaystyle x_{i}\in U_{\delta }}
i
U
δ
{\displaystyle i_{U_{\delta }}}
i
≽
i
U
δ
{\displaystyle i\succcurlyeq i_{U_{\delta }}}
f
(
x
i
)
∈
U
ε
{\displaystyle f(x_{i})\in U_{\varepsilon }}
Insgesamt konvergiert mit dem
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
{\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}}
f
(
x
o
)
{\displaystyle f(x_{o})}
U
ε
∈
U
T
Y
(
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}
q
.
e
.
d
.
{\displaystyle q.e.d.}
Bearbeiten
Aus der Analysis ist das
ε
−
δ
{\displaystyle \varepsilon -\delta }
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
x
o
{\displaystyle x_{o}}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {R} }
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
D
:
|
x
−
x
o
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
f
(
x
o
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,|x-x_{o}|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_{o})|<\varepsilon }
Stetigkeitsatz - Urbilder offener Mengen
Bearbeiten
Seien
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
(
Y
,
T
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}
topologische Räume ,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
{\displaystyle f}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
(
Y
,
T
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
f
stetig
⟺
∀
U
∈
T
Y
:
f
−
1
(
U
)
∈
T
X
{\displaystyle f{\mbox{ stetig }}\Longleftrightarrow \forall _{U\in {\mathcal {T}}_{Y}}\,:\,f^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{X}}
Bemerkung - Stetigkeit der Abbildung und Stetigkeit in einem Punkt
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Normalerweise müsste man für die Stetigkeit der Abbildung
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
f
{\displaystyle f}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen:
(S1) Aus
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
(S2) Wenn Urbilder offener Mengen immer offen in
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Wir führen den Beweis für (S1) durch Widerspruch und nehmen an, dass ein Urbild
f
−
1
(
U
^
)
{\displaystyle f^{-1}({\widehat {U}})}
U
^
∈
T
Y
{\displaystyle {\widehat {U}}\in {\mathcal {T}}_{Y}}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Wenn
U
o
:=
f
−
1
(
U
^
)
{\displaystyle U_{o}:=f^{-1}({\widehat {U}})}
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
U
o
⊂
X
{\displaystyle U_{o}\subset X}
X
{\displaystyle X}
x
o
∈
U
o
{\displaystyle x_{o}\in U_{o}}
U
o
{\displaystyle U_{o}}
x
o
∈
∂
(
U
o
)
∩
U
o
{\displaystyle x_{o}\in \partial (U_{o})\cap U_{o}}
x
∈
U
o
=
f
−
1
(
U
^
)
{\displaystyle x\in U_{o}=f^{-1}({\widehat {U}})}
f
(
x
o
)
∈
U
^
{\displaystyle f(x_{o})\in {\widehat {U}}}
Für Randpunkte einer Menge gilt, dass jede Umgebung
U
∈
U
T
X
(
x
o
)
{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}
U
o
{\displaystyle U_{o}}
x
∈
U
o
=
f
−
1
(
U
^
)
{\displaystyle x\in U_{o}=f^{-1}({\widehat {U}})}
U
o
{\displaystyle U_{o}}
x
o
∈
U
o
{\displaystyle x_{o}\in U_{o}}
U
o
{\displaystyle U_{o}}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
f
(
x
o
)
{\displaystyle f(x_{o})}
Als Indexmenge des Netzes verwendet man
I
:=
U
T
X
(
x
o
)
{\displaystyle I:={\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}
U
1
≽
U
2
:⟺
U
1
⊆
U
2
{\displaystyle U_{1}\succcurlyeq U_{2}:\Longleftrightarrow U_{1}\subseteq U_{2}}
Für jede Umgebung
U
1
∈
I
{\displaystyle U_{1}\in I}
x
U
1
∈
(
U
o
c
∩
U
1
)
{\displaystyle x_{U_{1}}\in (U_{o}^{c}\cap U_{1})}
U
o
c
:=
X
∖
U
o
{\displaystyle U_{o}^{c}:=X\setminus U_{o}}
U
1
∈
I
{\displaystyle U_{1}\in I}
x
U
1
∈
X
{\displaystyle x_{U_{1}}\in X}
Wegen
x
U
1
∈
U
1
{\displaystyle x_{U_{1}}\in U_{1}}
(
x
U
1
)
U
1
∈
I
{\displaystyle (x_{_{U_{1}}})_{U_{1}\in I}}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
x
U
1
∈
U
o
c
{\displaystyle x_{_{U_{1}}}\in U_{o}^{c}}
f
(
x
U
1
)
∉
U
^
⊂
Y
{\displaystyle f(x_{_{U_{1}}})\notin {\widehat {U}}\subset Y}
(
f
(
x
U
1
)
)
U
1
∈
I
{\displaystyle \left(f(x_{_{U_{1}}})\right)_{U_{1}\in I}}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
f
(
x
o
)
∈
U
^
∈
T
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in {\widehat {U}}\in {\mathcal {T}}_{Y}}
U
^
∈
U
T
Y
(
f
(
x
o
)
)
{\displaystyle {\widehat {U}}\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}
f
(
x
o
)
{\displaystyle f(x_{o})}
Bei einer Konvergenz von
(
f
(
x
U
1
)
)
U
1
∈
I
{\displaystyle \left(f(x_{_{U_{1}}})\right)_{U_{1}\in I}}
f
(
x
o
)
{\displaystyle f(x_{o})}
U
^
{\displaystyle {\widehat {U}}}
U
2
∈
I
{\displaystyle U_{2}\in I}
U
1
≽
U
2
{\displaystyle U_{1}\succcurlyeq U_{2}}
f
(
x
U
1
)
{\displaystyle f(x_{_{U_{1}}})}
U
^
{\displaystyle {\widehat {U}}}
f
{\displaystyle f}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
Seien nun Urbilder offener Mengen unter
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
U
δ
:=
f
−
1
(
U
ε
)
∈
T
X
{\displaystyle U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\mathcal {T}}_{X}}
U
ε
∈
T
Y
{\displaystyle U_{\varepsilon }\in {\mathcal {T}}_{Y}}
Ferner sei
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
(
f
(
x
i
)
)
i
∈
I
{\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}}
(
Y
,
T
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
Wähle nun eine beliebige offene Menge
U
ε
∈
U
∘
T
Y
(
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle U\varepsilon \in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {U}}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}
i
ϵ
{\displaystyle i_{\epsilon }}
i
≽
i
ε
{\displaystyle i\succcurlyeq i_{\varepsilon }}
f
(
x
i
)
∈
U
ε
{\displaystyle f(x_{i})\in U_{\varepsilon }}
Da Urbilder offener Menge offen sind, gilt:
x
o
∈
U
δ
:=
f
−
1
(
U
ε
)
∈
U
∘
T
X
(
x
o
)
,
{\displaystyle x_{o}\in U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {U}}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o}),}
Da das Netz
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
i
δ
∈
I
{\displaystyle i_{\delta }\in I}
i
≽
i
δ
{\displaystyle i\succcurlyeq i_{\delta }}
x
i
∈
U
δ
{\displaystyle x_{i}\in U_{\delta }}
i
ε
:=
i
δ
{\displaystyle i_{\varepsilon }:=i_{\delta }}
f
(
x
i
)
∈
f
(
U
δ
)
=
f
(
f
−
1
(
U
ε
)
)
=
U
ε
{\displaystyle f(x_{i})\in f(U_{\delta })=f(f^{-1}(U_{\varepsilon }))=U_{\varepsilon }}
q.e.d.
Da eine Topologie über Menge definiert wird, sind mengentheoretische Formulierung für die Stetigkeit in Regel für die Beweisführung besser geeignet als Netze. Einen ähnlichen Ansatz geht man mit Filtern, die ebenfalls als Mengensystem formuliert sind und die Konvergenz von Filter über die Teilmengenbeziehung zur Menge der Umgebungen von
x
o
{\displaystyle x_{o}}
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In der Beweisalternative verwendet man die Negation der Aussage (S2) und führt diese zum Widerspruch. Die Negation von (S2) lautet:
¬
(
S
2
)
{\displaystyle \neg (S2)}
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Wenn
f
{\displaystyle f}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
U
ε
{\displaystyle U_{\varepsilon }}
f
(
x
o
)
∈
Y
{\displaystyle f(x_{o})\in Y}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
k
(
i
)
≽
i
{\displaystyle k(i)\succcurlyeq i}
f
(
x
k
(
i
)
)
{\displaystyle f(x_{k(i)})}
U
ε
{\displaystyle U_{\varepsilon }}
f
(
x
k
(
i
)
)
∉
U
ε
{\displaystyle f(x_{k(i)})\notin U_{\varepsilon }}
Da Urbilder von offenen Menge
U
∈
{\displaystyle U\in }
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
U
δ
:=
f
−
1
(
U
ε
)
∈
T
X
{\displaystyle U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\mathcal {T}}_{X}}
Weil
f
(
x
o
)
∈
U
ε
{\displaystyle f(x_{o})\in U_{\varepsilon }}
x
o
∈
U
δ
{\displaystyle x_{o}\in U_{\delta }}
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
Da das Netz
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
i
δ
∈
I
{\displaystyle i_{\delta }\in I}
i
≻
i
δ
{\displaystyle i\succ i_{\delta }}
x
i
∈
U
δ
{\displaystyle x_{i}\in U_{\delta }}
f
(
x
i
)
∈
f
(
U
δ
)
=
U
ε
,
{\displaystyle f(x_{i})\in f(U_{\delta })=U_{\varepsilon },}
was ein Widerspruch zu Annahme war, dass für eine jeden Index
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
k
(
i
)
∈
I
{\displaystyle k(i)\in I}
f
(
x
k
(
i
)
)
∉
U
ε
{\displaystyle f(x_{k(i)})\notin U_{\varepsilon }}
Sei
T
R
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }}
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
X
:=
R
{\displaystyle X:=\mathbb {R} }
T
0
:=
{
∅
,
R
}
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}:=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}}
X
:=
Y
:=
R
{\displaystyle X:=Y:=\mathbb {R} }
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
X
=
Y
=
R
{\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }
Ist die Abbildung mit
(
X
,
T
1
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{1})}
(
Y
,
T
R
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{\mathbb {R} })}
Ist die Abbildung mit
(
X
,
T
R
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{\mathbb {R} })}
(
Y
,
T
1
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{1})}
Ist die Abbildung mit
(
X
,
T
0
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{0})}
(
Y
,
T
1
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{1})}
Ist die Abbildung mit
(
X
,
T
1
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{1})}
(
Y
,
T
0
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{0})}
