Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra
Definition: Topologischer Vektorraum
BearbeitenEin topologischer Vektorraum über ist ein Vektorraum über dem Körper , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.
Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.
Definition: Umgebungen
BearbeitenSei ein topologischer Raum mit einer Topologie als System von offenen Mengen und , dann bezeichnet
- die Menge aller Umgebungen vom Punkt ,
- die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt ,
- die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt
Bemerkung: Indizierung mit der Topologie
BearbeitenFalls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.
Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung
BearbeitenBei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus eine Indexschranke eines Netzes finden, ab der alle liegen mit . Da die -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle zu zeigen.
Konvergenz in topologischen Räumen
BearbeitenSei ein topologischer Raum, , eine Indexmenge (partielle Ordnung) und ein Netz. Die Konvergenz von gegen wird dann wie folgt definiert:
- .
(dabei ist " " für die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).
Definiton: Umgebungsbasis
BearbeitenSei ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . heißt Umgebungsbasis von , wenn es zu jedem :
Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen
BearbeitenSei ein normierter Raum, dann bilden die -Kugeln
eine Umgebungsbasis von der Menge aller Umgebungen von von .
Aufgabe 1
BearbeitenSei ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie .
- Bestimmen Sie für ein beliebiges .
- Zeigen Sie, dass jede Folge in gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert.
Aufgabe 2
BearbeitenSei ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:
- .
- Bestimmen Sie für ein beliebiges .
- Aus wie vielen Mengen besteht minimal für ein beliebiges ?
- Geben Sie alle Folgen in formal an, die gegen einen Grenzwert konvergieren!
Definition: Offene Mengen
BearbeitenSei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen, d.h.:
Aufgabe
BearbeitenSei ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.
- Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum ist.
- Zeigen Sie, dass die Folge in dem topologischen Raum nicht gegen konvergiert.
Dabei ist das Komplement von in .
Bemerkung: offen - abgeschlossen
BearbeitenDurch das System der offenen Mengen in einer Topologie sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.
Definition: Abgeschlossene Mengen
BearbeitenSei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen.
Definition: Offener Kern
BearbeitenSei ein topologischer Raum und , dann ist der offene Kern von die Vereinigung aller offenen Teilmengen von .
Definition: Abgeschlossene Hülle
BearbeitenSei ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle von ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von , die enthalten und offen ist.
Definition: Rand einer Menge
BearbeitenDer topologische Rand von ist wie folgt definiert:
Bemerkung: Folgen und Netze
BearbeitenIn metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.
Definition: Netze
BearbeitenSei ein topologischer Raum und eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet die Menge aller mit indizierten Familien in :
Definition: endliche Folgen
BearbeitenSei ein Vektorraum, dann bezeichnet die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in :
Definition: Algebra
BearbeitenEine Algebra über dem Körper ist ein Vektorraum über , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung
definiert ist, bei der für alle und folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Definition: Topologische Algebra
BearbeitenEine topologische Algebra über dem Körper ist ein topologischer Vektorraum über , bei dem auch die Multiplikation
eine stetige innere Verknüfung ist.
Stetigkeit der Multiplikation
BearbeitenStetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:
Multiplikative Topologie - Stetigkeit
BearbeitenDie Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:
Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale
BearbeitenBei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen
Unitale Algebra
BearbeitenDie Algebra heißt unital, falls sie ein neutrales Element der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man für alle . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.
Aufgabe: Matrixalgebren
BearbeitenBetrachten Sie die Menge der quadratischen -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen ( ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.
Faltung auf dem Funktionenraum
BearbeitenSiehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.
Definition: Mengen und Verknüpfungen
BearbeitenSei eine topologische Algebra über dem Körper , und Teilmengen von , dann definiert man
Aufgaben
BearbeitenZeichnen Sie die folgenden Menge der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem mit und und den folgenden Intervallen :
Siehe auch
Bearbeiten- Beispiele für Vektorräume
- Vektorraum
- Topologischer Raum
- Topologischer Vektorraum
- Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem
- Lokalkonvexe Vektorräume
- Pseudokonvexe Vektorräume
- Netze (Mathematik)
- Hausdorffeigenschaft
- Algebraerweiterung
- Normen, Metriken, Topologie
- Minkowski-Funktionale
- Topologisierungslemma für Algebren
- Lemma - Kaskadensummen Gaugefunktionale
- Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
Seiteninformation
BearbeitenDiese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal
BearbeitenDieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.