Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum

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Ein topologischer Vektorraum   über   ist ein Vektorraum über dem Körper  , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

 

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definition: Umgebungen

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Sei   ein topologischer Raum mit einer Topologie   als System von offenen Mengen   und  , dann bezeichnet

  •   die Menge aller Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt  

Bemerkung: Indizierung mit der Topologie

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Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index   als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung

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Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur  -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus   eine Indexschranke   eines Netzes   finden, ab der alle   liegen mit  . Da die  -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle   zu zeigen.

Konvergenz in topologischen Räumen

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Sei   ein topologischer Raum,  ,   eine Indexmenge (partielle Ordnung) und   ein Netz. Die Konvergenz von   gegen   wird dann wie folgt definiert:

 .

(dabei ist " " für   die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).

Definiton: Umgebungsbasis

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Sei   ein topologischer Raum,   und   die Menge aller Umgebungen von  .   heißt Umgebungsbasis von  , wenn es zu jedem : 

Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen

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Sei   ein normierter Raum, dann bilden die  -Kugeln

 

eine Umgebungsbasis von   der Menge aller Umgebungen von   von  .

Aufgabe 1

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Sei   ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie  .

  • Bestimmen Sie   für ein beliebiges  .
  • Zeigen Sie, dass jede Folge   in   gegen einen beliebigen Grenzwert   konvergiert.

Aufgabe 2

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Sei   ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

 .
  • Bestimmen Sie   für ein beliebiges  .
  • Aus wie vielen Mengen besteht   minimal für ein beliebiges  ?
  • Geben Sie alle Folgen   in   formal an, die gegen einen Grenzwert   konvergieren!

Definition: Offene Mengen

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Sei   ein topologischer Raum und   ist das System der offenen Mengen, d.h.:

 

Sei   ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag  , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

 
  • Zeigen Sie, dass   ein topologischer Raum ist.
  • Zeigen Sie, dass die Folge   in dem topologischen Raum   nicht gegen   konvergiert.

Dabei ist   das Komplement von   in  .

Bemerkung: offen - abgeschlossen

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Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie   sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Definition: Abgeschlossene Mengen

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Sei   ein topologischer Raum und   ist das System der offenen Mengen.

 

Definition: Offener Kern

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Sei   ein topologischer Raum und  , dann ist der offene Kern   von   die Vereinigung aller offenen Teilmengen von  .

 

Definition: Abgeschlossene Hülle

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Sei   ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle   von   ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von  , die   enthalten und   offen ist.

 

Definition: Rand einer Menge

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Der topologische Rand   von   ist wie folgt definiert:

 

Bemerkung: Folgen und Netze

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In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Definition: Netze

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Sei   ein topologischer Raum und   eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet   die Menge aller mit   indizierten Familien in  :

 

Definition: endliche Folgen

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Sei   ein Vektorraum, dann bezeichnet   die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in  :

 

Definition: Algebra

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Eine Algebra   über dem Körper   ist ein Vektorraum über  , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

 

definiert ist, bei der für alle   und   folgende Eigenschaften erfüllt sind:

 

Definition: Topologische Algebra

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Eine topologische Algebra   über dem Körper   ist ein topologischer Vektorraum   über  , bei dem auch die Multiplikation

 

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation

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Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

 

Multiplikative Topologie - Stetigkeit

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Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

 

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale

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Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen

Unitale Algebra

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Die Algebra   heißt unital, falls sie ein neutrales Element   der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man   für alle  . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit   bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.


Aufgabe: Matrixalgebren

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Betrachten Sie die Menge   der quadratischen  -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (  ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass   mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Faltung auf dem Funktionenraum

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Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.

Definition: Mengen und Verknüpfungen

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Sei   eine topologische Algebra über dem Körper  ,   und   Teilmengen von  , dann definiert man

 

Aufgaben

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Zeichnen Sie die folgenden Menge   der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem   mit   und   und den folgenden Intervallen  :

  •  
  •  
  •  

Siehe auch

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