Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität

Einführung

Bearbeiten

Bei der Cauchy-Multiplkikation hat man im allgemeinen Fall eine topologischen Algebra nicht mehr die Dreieckungleichung einer Halbnorm oder die Abschätzung mit einer Stetigkeitskonstante der Addition mit einer Quasinorm zur Verfügung und man muss bei der Addition für die Stetigkeit gegen ein anderen  -Gaugefunktional abschätzen.

 

Dies führt zur Betrachtung von kaskadierenden Summen, die für die Abschätzung der Cauchy-Multimultiplikation auf der Polynomalgebra   verwendet wird.

Veranschaulichung

Bearbeiten

Die Stetigkeit des Cauchy-Produktes ist wesentlich für den ersten Schritt der Erweiterung auf die Algebra der Polynome.

 

Wasser-Kaskaden

Bearbeiten

Kaskaden bei Brunnen sind namensgebend für die kaskadierende Summen von Gaugefunktionalen (siehe folgende Abbildungen)

 

Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen

Bearbeiten

 

Kaskadenabschätzung für das Cauchy-Produkt

Bearbeiten

Betrachtet man in Polynomalgebren   das Cauchy-Produkt, dann muss man die Polynomalgebra in einer Weise topologisieren, dass die Verknüpfungen auf der Algebra (also insbesondere die Multiplikation von Polynomen stetig sind. In allgemeinen topologischen Algebren gibt es keine Dreieckungleichung und daher erhöht sich bei Anwendung der Subadditivität bzw. Submultiplikativität jeweils der Index in der Sequenz. Nun ist es das Ziel die Lemma über Kaskadensummen und Kaskadenprodukte für die Stetigkeit der Cauchymultiplkation nutzbar zu machen.

Cauchy-Produkt

Bearbeiten

Gegeben sind allgemein zwei Polynome   mit Koeffizienten aus  .

 

Dann wird Cauchy-Produkt von   wie folgt definiert:

 

Gaugefunktional aus Stetigkeitssequenzen

Bearbeiten

Betrachtet man zwei Polynome   in einer topologischen Algebra  .

 

Dann liefert die Definition des  -Gaugefunktionals für das Produkt  :

 

Bemerkung - Koeffizienten in Gaugefunktionalen

Bearbeiten

Für die Regularitätbeweise erhalten die Gaugefunktional auf der Polynomalgebra   noch positive Konstanten als Vorfaktoren.

 

Bei den folgenden Vorüberlegungen entfallen diese zunächst, um das Vorgehen bzgl. der Kaskadenabschätzung zu klären.

Kaskadenlemma - Cauchy-Produkt

Bearbeiten

Für eine Cauchy-Produkt in der Polynomagebra   kann man zu jedem   eine Stetigkeitssequenz   finden, die die folgende Ungleichung erfüllt.

 

Vorüberlegungen - Kaskadenlemma

Bearbeiten

Bei einem Cauchy-Produkt auf der Polynomalgebra greifen additive Verknüpfungen von   Summanden mit einer multiplikativen Verknüpfung von zwei Koeffizienten inneinander. Bei der Addition hat man im allgemeinen Fall einer topologischen Algebra nicht mehr auf die Dreiecksungleichung bzw. die Subadditivität mit Stetigkeitskonstante einer Quasihalbnorm zurückgreifen. Als Ersatz wird das Kaskadenlemma der Addition verwendet, um auch auf der Polynomalgebra stetige algebraische Verknüpfungen für die Algebraerweiterung zu erhalten.

Anwendung des Kaskadenlemmas für Summen

Bearbeiten

Fallunterscheidung für   gerade bzw. ungerade. In Abhängigkeit von der Anzahl der Summanden werden die   und   im Kaskadenlemma für Summen definiert.

  •   ist ein Koeffizient von  , wobei sich   zerlegen lässt.
  •   ist ein Koeffizient von  , wobei sich   zerlegen lässt.

Kaskadenlemma - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Ist   ungerade definiert man

  •   und  

Ist   ungerade definiert man

  •   und  
  •   und  

Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige ungerade   verwendet.

Anwendung Kaskadenlemma 1 - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit Indexverschiebung und  :

 

Stetigkeit Multiplikation 2 - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung Korollar - Kaskadensummen auf das Cauchy-Produkt erhält man Indexverschiebung:

 

Abschätzung Laufindex 3 - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Mit   und   ungerade gilt:

  • Aus   folgt   und
  • Insgesamt  

Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale

 

Isotonie Sequenz 4 - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung der Isotonie auf das Produkt erhält man mit  :

 

Cauchyprodukt 5 - ungerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch geeignet Umsortierung der Summanden erhält man mit  :

 

Kaskadenlemma - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Ist   gerade, definiert man

  •   und  
  •   und  

Ist   gerade definiert man

  •   und  
  •   und  
  •   und  

Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige gerade   verwendet.

Anwendung Kaskadenlemma 1 - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit   und  :

 

Stetigkeit Multiplikation 2 - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung Korollar - Kaskadensummen und isotonie erhält mit  :

 

Abschätzung Laufindex 3 - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Mit   und   gerade gilt:

  • Aus   folgt   und
  • Insgesamt  

Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale

 

Isotonie Sequenz 4 - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch Anwendung auf der Isotonie auf das Produkt erhält:

 

Cauchyprodukt 5 - gerade Anzahl Summanden

Bearbeiten

Durch geeignete Umsortierung der Summanden erhält man mit   und  :

 

Ungleichung Cauchy-Multiplikation

Bearbeiten

Insgesamt erhält man

 

Koeffizienten im Gaugefunktional - Polynomalgebra

Bearbeiten

Mit den obigen Vorüberlegungen ist das prinzipielle Vorgehen für die Cauchy-Multiplikation geklärt. Nun fehlt noch die Integration der Koeffzienten, die durch die Konstanten aus dem  -Regularitätkriterium für die Gaugefunktionale auf   berücksichtigt werden müssen.

Stetigkeitssequenzen auf Polynomalgebren

Bearbeiten

Wir betrachten nun Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen auf Polynomalgebren in   in einer topologischen Algebra  .

 

Dabei muss man in einem nächsten Schritt die Koeffizienten   so definieren, dass man wie bei den anderen Regularitätsbeweisen mit   Algebraerweiterung von   erhält in der   invertierbar ist.

Hausdorff-Eigenschaft

Bearbeiten

Sei   eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem  . Da   die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, trennt   die Punkte, d.h. gilt für alle   mit   gibt ein  , sodass man mit   den "Unterschied messen" kann und   gilt.

Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra

Bearbeiten

Damit auch die Polynomalgebra   die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, definitiert man   und   mit

 

Aufgabe für Studierende - Polynomalgebra

Bearbeiten

Sei   eine Polynomalgebra mit Koeffizienten aus der topologische Algebra   und einem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem   auf  , wie oben definiert.

Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra   ein Hausdorff-Raum ist.

Stetigkeit der Addition - Polynomalgebra

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra   die Addition stetig ist.

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra   die Multiplikation stetig ist.

Homogenität der Multiplikation mit Skalaren - Polynomalgebra

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra   die Gaugefunktionale   die homogen sind und damit Multiplikation mit Skalaren auf   stetig ist (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Siehe auch

Bearbeiten

Seiteninformation

Bearbeiten

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Bearbeiten

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.