Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität
Einführung
BearbeitenBei der Cauchy-Multiplkikation hat man im allgemeinen Fall eine topologischen Algebra nicht mehr die Dreieckungleichung einer Halbnorm oder die Abschätzung mit einer Stetigkeitskonstante der Addition mit einer Quasinorm zur Verfügung und man muss bei der Addition für die Stetigkeit gegen ein anderen -Gaugefunktional abschätzen.
Dies führt zur Betrachtung von kaskadierenden Summen, die für die Abschätzung der Cauchy-Multimultiplikation auf der Polynomalgebra verwendet wird.
Veranschaulichung
BearbeitenDie Stetigkeit des Cauchy-Produktes ist wesentlich für den ersten Schritt der Erweiterung auf die Algebra der Polynome.
Wasser-Kaskaden
BearbeitenKaskaden bei Brunnen sind namensgebend für die kaskadierende Summen von Gaugefunktionalen (siehe folgende Abbildungen)
Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen
BearbeitenKaskadenabschätzung für das Cauchy-Produkt
BearbeitenBetrachtet man in Polynomalgebren das Cauchy-Produkt, dann muss man die Polynomalgebra in einer Weise topologisieren, dass die Verknüpfungen auf der Algebra (also insbesondere die Multiplikation von Polynomen stetig sind. In allgemeinen topologischen Algebren gibt es keine Dreieckungleichung und daher erhöht sich bei Anwendung der Subadditivität bzw. Submultiplikativität jeweils der Index in der Sequenz. Nun ist es das Ziel die Lemma über Kaskadensummen und Kaskadenprodukte für die Stetigkeit der Cauchymultiplkation nutzbar zu machen.
Cauchy-Produkt
BearbeitenGegeben sind allgemein zwei Polynome mit Koeffizienten aus .
Dann wird Cauchy-Produkt von wie folgt definiert:
Gaugefunktional aus Stetigkeitssequenzen
BearbeitenBetrachtet man zwei Polynome in einer topologischen Algebra .
Dann liefert die Definition des -Gaugefunktionals für das Produkt :
Bemerkung - Koeffizienten in Gaugefunktionalen
BearbeitenFür die Regularitätbeweise erhalten die Gaugefunktional auf der Polynomalgebra noch positive Konstanten als Vorfaktoren.
Bei den folgenden Vorüberlegungen entfallen diese zunächst, um das Vorgehen bzgl. der Kaskadenabschätzung zu klären.
Kaskadenlemma - Cauchy-Produkt
BearbeitenFür eine Cauchy-Produkt in der Polynomagebra kann man zu jedem eine Stetigkeitssequenz finden, die die folgende Ungleichung erfüllt.
Vorüberlegungen - Kaskadenlemma
BearbeitenBei einem Cauchy-Produkt auf der Polynomalgebra greifen additive Verknüpfungen von Summanden mit einer multiplikativen Verknüpfung von zwei Koeffizienten inneinander. Bei der Addition hat man im allgemeinen Fall einer topologischen Algebra nicht mehr auf die Dreiecksungleichung bzw. die Subadditivität mit Stetigkeitskonstante einer Quasihalbnorm zurückgreifen. Als Ersatz wird das Kaskadenlemma der Addition verwendet, um auch auf der Polynomalgebra stetige algebraische Verknüpfungen für die Algebraerweiterung zu erhalten.
Anwendung des Kaskadenlemmas für Summen
BearbeitenFallunterscheidung für gerade bzw. ungerade. In Abhängigkeit von der Anzahl der Summanden werden die und im Kaskadenlemma für Summen definiert.
- ist ein Koeffizient von , wobei sich zerlegen lässt.
- ist ein Koeffizient von , wobei sich zerlegen lässt.
Kaskadenlemma - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenIst ungerade definiert man
- und
Ist ungerade definiert man
- und
- und
Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige ungerade verwendet.
Anwendung Kaskadenlemma 1 - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit Indexverschiebung und :
Stetigkeit Multiplikation 2 - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung Korollar - Kaskadensummen auf das Cauchy-Produkt erhält man Indexverschiebung:
Abschätzung Laufindex 3 - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenMit und ungerade gilt:
- Aus folgt und
- Insgesamt
Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale
Isotonie Sequenz 4 - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung der Isotonie auf das Produkt erhält man mit :
Cauchyprodukt 5 - ungerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch geeignet Umsortierung der Summanden erhält man mit :
Kaskadenlemma - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenIst gerade, definiert man
- und
- und
Ist gerade definiert man
- und
- und
- und
Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige gerade verwendet.
Anwendung Kaskadenlemma 1 - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit und :
Stetigkeit Multiplikation 2 - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung Korollar - Kaskadensummen und isotonie erhält mit :
Abschätzung Laufindex 3 - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenMit und gerade gilt:
- Aus folgt und
- Insgesamt
Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale
Isotonie Sequenz 4 - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch Anwendung auf der Isotonie auf das Produkt erhält:
Cauchyprodukt 5 - gerade Anzahl Summanden
BearbeitenDurch geeignete Umsortierung der Summanden erhält man mit und :
Ungleichung Cauchy-Multiplikation
BearbeitenInsgesamt erhält man
Koeffizienten im Gaugefunktional - Polynomalgebra
BearbeitenMit den obigen Vorüberlegungen ist das prinzipielle Vorgehen für die Cauchy-Multiplikation geklärt. Nun fehlt noch die Integration der Koeffzienten, die durch die Konstanten aus dem -Regularitätkriterium für die Gaugefunktionale auf berücksichtigt werden müssen.
Stetigkeitssequenzen auf Polynomalgebren
BearbeitenWir betrachten nun Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen auf Polynomalgebren in in einer topologischen Algebra .
Dabei muss man in einem nächsten Schritt die Koeffizienten so definieren, dass man wie bei den anderen Regularitätsbeweisen mit Algebraerweiterung von erhält in der invertierbar ist.
Hausdorff-Eigenschaft
BearbeitenSei eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem . Da die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, trennt die Punkte, d.h. gilt für alle mit gibt ein , sodass man mit den "Unterschied messen" kann und gilt.
Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra
BearbeitenDamit auch die Polynomalgebra die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, definitiert man und mit
Aufgabe für Studierende - Polynomalgebra
BearbeitenSei eine Polynomalgebra mit Koeffizienten aus der topologische Algebra und einem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem auf , wie oben definiert.
Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra
BearbeitenZeigen Sie, dass die Polynomalgebra ein Hausdorff-Raum ist.
Stetigkeit der Addition - Polynomalgebra
BearbeitenZeigen Sie, dass in der Polynomalgebra die Addition stetig ist.
Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra
BearbeitenZeigen Sie, dass in der Polynomalgebra die Multiplikation stetig ist.
Homogenität der Multiplikation mit Skalaren - Polynomalgebra
BearbeitenZeigen Sie, dass in der Polynomalgebra die Gaugefunktionale die homogen sind und damit Multiplikation mit Skalaren auf stetig ist (siehe Topologisierungslemma für Algebren).
Siehe auch
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