Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen

Einführung

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Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen, -Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht.

Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen

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Lemma - Kaskadensummen

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Sei   eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden  -Gaugefunktionalsystem  , dann gibt es für alle   eine Stetigkeitssequenz  , die folgende Eigenschaften besitzt:

  • (KA1)   für   und  
  • (KA2)  

Beweis - Kaskadensummen

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Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile:

  • Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert,
  • (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
  • (KA2) Kaskadenungleichung

Beweis 1 - Stetigkeit der Addition

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Mit der Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional   ein   mit

 

für alle  . Zu   gilt es wieder ein  -Gaugefunktional   mit

 

für alle  . Man definiert nun  .

Beweis 2 - Stetigkeit der Addition

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Ist nun   gegeben, so kann man wieder zu diesem  -Gaugefunktional   wieder   finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

  •   für alle  
  • Man definiert nun  

Beweis 3 - Abschätzung von Summen mit 4 Summanden

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Mit der obigen Konstruktion kann man Summen mit 4 Summanden wie folgt abschätzen:

 

Beweis 4 - Abschätzung von Summen mit 3 Summanden

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Mit der obigen Konstruktion kann man Summen kann man auch für 2 oder 3 Summanden anwenden, indem man einzelne Vektoren als Nullvektoren definiert. Im weiteren Verlauf wird die Abschätzung lediglich für 3 Summanden für das Kaskadenlemma benötigt und man setzt  .

 

Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz

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Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h.  ), denn für alle   gilt:

 

Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung

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Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet:

 

Insgesamt folgt die Behauptung.  

Korollar 1 - Kaskadensummen

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Sei   eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden  -Gaugefunktionalsystem  , dann gibt es für alle   eine isotone Stetigkeitssequenz  , die folgende Eigenschaften besitzt:

  • (KA1)   für   und  
  • (KA2)   für alle  .

Korollar 2 - Kaskadensumme

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Sei   eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden  -Gaugefunktionalsystem  , dann gibt es für alle   eine isotone Stetigkeitssequenz  , die folgende Eigenschaften besitzt:

  • (SA1)   für   und  
  • (SA2)  

Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma

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Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von  .

Beweisaufgabe für Studierende

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Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe Topologisierungslemma für Algebren)

Siehe auch

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