Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,
p
{\displaystyle p}
Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen
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Lemma - Kaskadensummen
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(KA1)
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}
k
∈
{
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(KA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
+
y
k
‖
α
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
k
)
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)}
Beweis - Kaskadensummen
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Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren . Der Beweis gliedert sich in 3 Teile:
Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert,(KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
(KA2) Kaskadenungleichung Beweis 1 - Stetigkeit der Addition
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Mit der Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
‖
⋅
‖
β
1
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta _{1}}}
‖
x
+
y
‖
α
≤
‖
x
‖
β
1
+
‖
y
‖
β
1
{\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta _{1}}+\|y\|_{\beta _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
β
1
∈
A
{\displaystyle _{\beta _{1}}\in {\mathcal {A}}}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
‖
x
+
y
‖
β
1
≤
‖
x
‖
γ
1
+
‖
y
‖
γ
1
{\displaystyle \|x+y\|_{\beta _{1}}\leq \|x\|_{\gamma _{1}}+\|y\|_{\gamma _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
‖
⋅
‖
(
α
,
1
)
:=
‖
⋅
‖
γ
1
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{1}}}
Beweis 2 - Stetigkeit der Addition
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Ist nun
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
‖
x
+
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
γ
k
+
‖
x
‖
γ
k
{\displaystyle \|x+y\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{\gamma _{k}}+\|x\|_{\gamma _{k}}}
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
Man definiert nun
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
:=
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
Beweis 3 - Abschätzung von Summen mit 4 Summanden
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Mit der obigen Konstruktion kann man Summen mit 4 Summanden wie folgt abschätzen:
‖
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
1
+
x
2
‖
β
k
+
‖
x
3
+
x
4
‖
β
k
≤
∑
k
=
1
4
‖
x
k
‖
γ
k
≤
∑
k
=
1
4
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\|x_{1}+x_{2}\|_{\beta _{k}}+\|x_{3}+x_{4}\|_{\beta _{k}}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\sum _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\\\end{array}}}
Beweis 4 - Abschätzung von Summen mit 3 Summanden
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Mit der obigen Konstruktion kann man Summen kann man auch für 2 oder 3 Summanden anwenden, indem man einzelne Vektoren als Nullvektoren definiert. Im weiteren Verlauf wird die Abschätzung lediglich für 3 Summanden für das Kaskadenlemma benötigt und man setzt
x
4
=
0
A
{\displaystyle x_{4}=0_{A}}
‖
x
1
+
x
2
+
x
3
+
0
A
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
0
A
‖
(
α
,
k
+
1
)
⏟
=
0
+
∑
k
=
1
3
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x_{1}+x_{2}+x_{3}+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\displaystyle \underbrace {\|0_{A}\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}+\sum _{k=1}^{3}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}}
Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
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Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h.
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
‖
x
‖
(
α
,
k
)
=
‖
x
+
0
A
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
+
‖
0
‖
(
α
,
k
+
1
)
⏟
=
0
=
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle \|x\|_{(\alpha ,k)}=\|x+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{(\alpha ,k+1)}+\underbrace {\|0\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}}
Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung
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Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet:
‖
∑
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
‖
α
≤
‖
x
k
‖
(
α
,
1
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
1
)
+
‖
∑
k
=
2
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
1
)
≤
∑
k
=
1
2
(
‖
x
k
‖
(
α
,
2
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
2
)
)
+
‖
∑
k
=
3
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
2
)
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
k
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\sum _{k=2}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)+\left\|\sum _{k=3}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}}
Insgesamt folgt die Behauptung.
◻
{\displaystyle \Box }
Korollar 1 - Kaskadensummen
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(KA1)
‖
x
⋅
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
⋅
‖
y
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
k
∈
N
o
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(KA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
m
)
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}
m
∈
N
o
{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{o}}
Korollar 2 - Kaskadensumme
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(SA1)
‖
x
⋅
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
⋅
‖
y
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
k
∈
N
o
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(SA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
‖
(
α
,
m
)
≤
∑
k
=
1
n
‖
x
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}}
Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma
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Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von
y
k
=
0
A
{\displaystyle y_{k}=0_{A}}
Beweisaufgabe für Studierende
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Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe Topologisierungslemma für Algebren )
