Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,
p
{\displaystyle p}
-Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht.
Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden
p
{\displaystyle p}
-Gaugefunktionalsystem
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
, dann gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine Stetigkeitssequenz
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
, die folgende Eigenschaften besitzt:
(KA1)
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für
k
∈
{
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}
und
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(KA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
+
y
k
‖
α
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
k
)
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)}
Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren . Der Beweis gliedert sich in 3 Teile:
Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert,
(KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
(KA2) Kaskadenungleichung
Mit der Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
ein
‖
⋅
‖
β
1
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta _{1}}}
mit
‖
x
+
y
‖
α
≤
‖
x
‖
β
1
+
‖
y
‖
β
1
{\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta _{1}}+\|y\|_{\beta _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
. Zu
β
1
∈
A
{\displaystyle _{\beta _{1}}\in {\mathcal {A}}}
gilt es wieder ein
p
{\displaystyle p}
-Gaugefunktional
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
mit
‖
x
+
y
‖
β
1
≤
‖
x
‖
γ
1
+
‖
y
‖
γ
1
{\displaystyle \|x+y\|_{\beta _{1}}\leq \|x\|_{\gamma _{1}}+\|y\|_{\gamma _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
. Man definiert nun
‖
⋅
‖
(
α
,
1
)
:=
‖
⋅
‖
γ
1
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{1}}}
.
Ist nun
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
gegeben, so kann man wieder zu diesem
p
{\displaystyle p}
-Gaugefunktional
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
wieder
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:
‖
x
+
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
γ
k
+
‖
x
‖
γ
k
{\displaystyle \|x+y\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{\gamma _{k}}+\|x\|_{\gamma _{k}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
Man definiert nun
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
:=
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
Beweis 3 - Abschätzung von Summen mit 4 Summanden
Bearbeiten
Mit der obigen Konstruktion kann man Summen mit 4 Summanden wie folgt abschätzen:
‖
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
1
+
x
2
‖
β
k
+
‖
x
3
+
x
4
‖
β
k
≤
∑
k
=
1
4
‖
x
k
‖
γ
k
≤
∑
k
=
1
4
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\|x_{1}+x_{2}\|_{\beta _{k}}+\|x_{3}+x_{4}\|_{\beta _{k}}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\sum _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\\\end{array}}}
Beweis 4 - Abschätzung von Summen mit 3 Summanden
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Mit der obigen Konstruktion kann man Summen kann man auch für 2 oder 3 Summanden anwenden, indem man einzelne Vektoren als Nullvektoren definiert. Im weiteren Verlauf wird die Abschätzung lediglich für 3 Summanden für das Kaskadenlemma benötigt und man setzt
x
4
=
0
A
{\displaystyle x_{4}=0_{A}}
.
‖
x
1
+
x
2
+
x
3
+
0
A
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
0
A
‖
(
α
,
k
+
1
)
⏟
=
0
+
∑
k
=
1
3
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x_{1}+x_{2}+x_{3}+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\displaystyle \underbrace {\|0_{A}\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}+\sum _{k=1}^{3}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}}
Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
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Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h.
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}}
), denn für alle
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
gilt:
‖
x
‖
(
α
,
k
)
=
‖
x
+
0
A
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
+
‖
0
‖
(
α
,
k
+
1
)
⏟
=
0
=
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle \|x\|_{(\alpha ,k)}=\|x+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{(\alpha ,k+1)}+\underbrace {\|0\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}}
Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet:
‖
∑
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
‖
α
≤
‖
x
k
‖
(
α
,
1
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
1
)
+
‖
∑
k
=
2
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
1
)
≤
∑
k
=
1
2
(
‖
x
k
‖
(
α
,
2
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
2
)
)
+
‖
∑
k
=
3
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
2
)
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
k
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\sum _{k=2}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)+\left\|\sum _{k=3}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}}
Insgesamt folgt die Behauptung.
◻
{\displaystyle \Box }
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden
p
{\displaystyle p}
-Gaugefunktionalsystem
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
, dann gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine isotone Stetigkeitssequenz
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
, die folgende Eigenschaften besitzt:
(KA1)
‖
x
⋅
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
⋅
‖
y
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für
k
∈
N
o
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}
und
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(KA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
+
y
k
‖
(
α
,
m
)
≤
∑
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
+
‖
y
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}
für alle
m
∈
N
o
{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{o}}
.
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden
p
{\displaystyle p}
-Gaugefunktionalsystem
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
, dann gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine isotone Stetigkeitssequenz
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
, die folgende Eigenschaften besitzt:
(SA1)
‖
x
⋅
y
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
⋅
‖
y
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für
k
∈
N
o
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}
und
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
(SA2)
‖
∑
k
=
1
n
x
k
‖
(
α
,
m
)
≤
∑
k
=
1
n
‖
x
k
‖
(
α
,
m
+
k
)
{\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}}
Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von
y
k
=
0
A
{\displaystyle y_{k}=0_{A}}
.
Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe Topologisierungslemma für Algebren )