Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem

Einführung

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Eine Basis ist in der mengentheoretischen Topologie ist ein Mengensystem von offenen Mengen mit gewissen Eigenschaften. Über Basen lassen sich topologische Räume einfacher definieren und klassifizieren. Bereits in den reellen Zahlen werden Konvergenzaussagen über  -Umgebungen formuliert und nicht über beliebige offene Mengen der Topologie. Die Verwendung der Basis der Topologie vereinfacht aber auch allgemein die Formulierung von Aussagen und den Beweis der Aussagen.

Gaugefunktional

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In topologischen Vektorräumen oder topologischen Algebren kann man die Topologie über Gaugefunktionale und die Stetigkeit der algebraischen Operationen über das Topologisierungslemma für Algebren ausdrücken. Überträgt man den Begriff der Basis der Topologie auf das Gaugefunktionalsystem erhält man ein analoges Konstrukt der   in den reellen Zahl auf beliebige topologische Vektorräume der Algebra.

Definition: Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem

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Sei   ein topologischer Vektorraum. Ein   ein Gaugefunktionalsystem auf   heißt basiserzeugend für die Topologie  , wenn es zu jeder Nullumgebung   ein   und ein   mit:

 

und wenn für alle   und alle   gilt:

 

Bemerkung

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Nicht jedes topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ist basiserzeugend. Jedes basiserzeugende Gaugefunktionalsystem ist auch ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem. Ohne die zweite Bedingung, dass beliebige  -Kugeln eines  -Gaugefunktionals auch Nullumgebungen sein müssen, könnte das Gaugefunktionalsystem auch eine feinere Topologie (d.h. "mit mehr offenen Mengen") erzeugen. Daher verlangt man für beliebige  -Kugeln  .

Definition: Basis der Topologie

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Gegeben sei ein topologischer Raum  , also eine Menge   und ein Mengensystem aus offenen Mengen  . Für die Mengenvereinigung gelte ferner die Konvention

 

Eine Menge   heißt eine Basis der Topologie, wenn sich jede offene Menge   als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus   schreiben lässt.

Topologische Vektorräume

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In topologischen Vektorräumen   ist die Topologie   bereits eindeutig durch die Nullumgebungsbasis definiert. Durch die Stetigkeit der Addition erhält man durch Translation auch eine Umgebungsbasis von beliebigen Elementen   aus dem Vektorraum über:

 .

Umgebungen - offene Mengen

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Eine offene Menge   in einem topologischen Vektorräumen   ist per Definition eine Umgebung für jeden Punkt  . Der Definition des basiserzeugenden Gaugefunktionalsystems liefert damit auch über durch die  -Kugeln   eine Basis der Topologie, indem man die beliebige offene Menge   als Vereinigung der folgenden  -Kugeln darstellt:

 

wobei   und   in Abhängigkeit von   gewählt werden und es gilt:

 

Eigenschaften 1

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Folgende Eigenschaften erfüllt die obige Vereinigung:

 
 
 

Eigenschaften 2 - offene Mengen als Vereinigung darstellen

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Also kann man beliebige offene Mengen   der Topologie   als Vereinigung von Menge aus der Basis der Topologie darstellen in topologischen Vektorräumen   mit

 

Beispiele

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Für jeden beliebigen topologischen Raum   bildet die Topologie selbst eine Basis

 .

Für die triviale Topologie   ist

 

eine Basis. Dies folgt aus der oben angeführten Konvention über die Vereinigung über eine leere Indexmenge.

Diskrete Topologie

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Für die diskrete Topologie   bilden die Punktmengen eine Basis:

 

Natürliche Topologie auf den reellen Zahlen

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Die natürliche Topologie auf   besitzt (per Definition) die Basis

 .

Metrische Räume

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Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf einem metrischen Raum   (per Definition) die Basis

 .

Hierbei ist

 

die offene Kugel um   mit Radius  .

Eigenschaften der Basis

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Die Basis eines topologischen Raumes ist nicht eindeutig bestimmt.

Diskrete Topologie - Einpunktmengen

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Dies wird an der Basis für die diskrete Topologie klar: Hier sind einerseits die Punktmengen bereits ausreichend, um eine Basis zu bilden. Andererseits bildet nach dem ersten Beispiel die gesamte Topologie eine Basis, in diesem Falle die Potenzmenge. Diese ist aber fast immer deutlich größer als die Menge, die nur die Punktmengen enthält.

Eindeutigkeit der Topologie bzgl. der Basis

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Im Gegensatz dazu bestimmt die Basis eine Topologie eindeutig, sprich ist   eine Basis sowohl von   als auch von  , so ist  .

Konstruktion von Topologien aus einer Basis

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Die Tatsache, dass eine Basis die Topologie eindeutig bestimmt, kann zur Konstruktion von Topologien genutzt werden. Dafür erklärt man ein Mengensystem, das gewisse Voraussetzungen erfüllt, zur Basis. Genauer gilt:

Ist   ein beliebiges Mengensystem von Teilmengen von  , für das gilt:
  • Die Vereinigung aller Mengen aus   ist gleich der Menge  .
  • Jeder Schnitt zweier Mengen aus   lässt sich als Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen aus   schreiben.
Dann ist   Basis einer eindeutig bestimmten Topologie auf  .

Offene Menge als Vereinigungen aus Erzeugermengen der Basis

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Die offenen Mengen in der so erzeugten Topologie sind dann genau diejenigen Mengen, die sich als Vereinigung von Mengen aus   darstellen lassen.


Siehe auch

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Literatur

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