Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren . Der Beweis erfolgt in 3 Teilen
Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert.(K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen
(K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation
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Mit der Stetigkeitssequenzen kann man analog zu den Kaskadensummen über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
M
β
≥
1
{\displaystyle M_{\beta }\geq 1}
‖
x
⋅
y
‖
α
≤
M
β
⋅
‖
x
‖
β
⋅
‖
y
‖
β
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq M_{\beta }\cdot \|x\|_{\beta }\cdot \|y\|_{\beta }}
Für die Stetigkeitskonstanten
M
β
{\displaystyle M_{\beta }}
p
{\displaystyle p}
M
β
1
>
0
{\displaystyle M_{\beta _{1}}>0}
M
β
1
≥
1
{\displaystyle M_{\beta _{1}}\geq 1}
Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation
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Die induktive Definition der Stetigkeitssequenz kann erfolgt pro Index
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
β
1
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta _{1}}}
M
β
1
≥
max
{
1
,
‖
e
A
‖
β
1
}
{\displaystyle M_{\beta _{1}}\geq \max\{1,\|e_{A}\|_{\beta _{1}}\}}
‖
x
⋅
y
‖
α
≤
M
β
1
⋅
‖
x
‖
β
1
⋅
‖
y
‖
β
1
≤
M
β
1
⋅
‖
x
‖
β
1
⋅
M
β
1
⏟
≥
1
⋅
‖
y
‖
β
1
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \underbrace {M_{\beta _{1}}} _{\geq 1}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
β
1
∈
A
{\displaystyle \beta _{1}\in {\mathcal {A}}}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
γ
1
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma _{1}}}
‖
x
⋅
y
‖
β
1
≤
M
γ
1
⋅
‖
x
‖
γ
1
⋅
‖
y
‖
γ
1
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\beta _{1}}\leq M_{\gamma _{1}}\cdot \|x\|_{\gamma _{1}}\cdot \|y\|_{\gamma _{1}}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
M
γ
1
≥
max
{
‖
e
‖
β
1
,
‖
e
‖
γ
1
,
M
β
1
}
{\displaystyle M_{\gamma _{1}}\geq \max \left\{\|e\|_{\beta _{1}},\|e\|_{\gamma _{1}},M_{\beta _{1}}\right\}}
Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation
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Ohne Einschränkung sei ferner
M
β
1
≥
‖
e
A
‖
β
1
⏟
>
0
{\displaystyle M_{\beta _{1}}\geq \underbrace {\|e_{A}\|_{\beta _{1}}} _{>0}}
‖
x
‖
α
≤
M
β
1
⋅
‖
x
‖
β
1
⋅
‖
e
A
‖
β
1
⏟
≤
M
β
1
≤
M
β
1
2
⋅
‖
x
‖
β
1
⋅
‖
y
‖
β
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \underbrace {\|e_{A}\|_{\beta _{1}}} _{\leq M_{\beta _{1}}}\leq M_{\beta _{1}}^{2}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}}
Man definiert nun
‖
⋅
‖
(
α
,
1
)
:=
M
β
1
2
⋅
M
γ
1
2
⋅
‖
⋅
‖
γ
1
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:={M_{\beta _{1}}}^{2}\cdot {M_{\gamma _{1}}}^{2}\cdot \|\cdot \|_{\gamma _{1}}}
Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation
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Ist nun
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
p
{\displaystyle p}
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
β
k
,
γ
k
∈
A
{\displaystyle \beta _{k},\gamma _{k}\in {\mathcal {A}}}
M
β
k
,
M
γ
k
>
0
{\displaystyle M_{\beta _{k}},\,M_{\gamma _{k}}>0}
‖
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
⋅
x
4
‖
(
α
,
k
)
≤
∏
i
=
1
4
(
M
β
k
⋅
M
γ
k
⋅
‖
x
‖
γ
k
⋅
‖
x
i
‖
γ
k
)
{\displaystyle \left\|x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \displaystyle \prod _{i=1}^{4}\left(M_{\beta _{k}}\cdot M_{\gamma _{k}}\cdot \|x\|_{\gamma _{k}}\cdot \|x_{i}\|_{\gamma _{k}}\right)}
Man definiert
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
:=
M
β
k
⋅
M
γ
k
⋅
‖
⋅
‖
γ
k
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}:=M_{\beta _{k}}\cdot M_{\gamma _{k}}\cdot \|\cdot \|_{\gamma _{k}}}
M
γ
k
≥
max
{
‖
e
A
‖
β
k
,
‖
e
A
‖
γ
k
,
M
β
k
}
{\displaystyle M_{\gamma _{k}}\geq \max \left\{\|e_{A}\|_{\beta _{k}},\|e_{A}\|_{\gamma _{k}},M_{\beta _{k}}\right\}}
Bearbeiten
Produkte mit 4 Faktoren als Ungleichung abschätzen:
‖
∏
i
=
1
4
x
i
‖
(
α
,
k
)
≤
M
β
k
⋅
‖
x
1
⋅
x
2
‖
β
k
⋅
‖
x
3
⋅
x
4
‖
β
k
≤
M
β
k
⋅
M
γ
k
2
⋅
∏
k
=
1
4
‖
x
k
‖
γ
k
≤
M
β
k
⏟
≥
1
8
⋅
M
γ
k
⏟
≥
1
8
⋅
∏
k
=
1
4
‖
x
k
‖
γ
k
≤
∏
k
=
1
4
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\prod _{i=1}^{4}x_{i}\right\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\displaystyle M_{\beta _{k}}\cdot \|x_{1}\cdot x_{2}\|_{\beta _{k}}\cdot \|x_{3}\cdot x_{4}\|_{\beta _{k}}\\&\leq &\displaystyle M_{\beta _{k}}\cdot {M_{\gamma _{k}}}^{2}\cdot \prod _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\displaystyle {\underbrace {M_{\beta _{k}}} _{\geq 1}}^{8}\cdot {\underbrace {M_{\gamma _{k}}} _{\geq 1}}^{8}\cdot \prod _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\displaystyle \prod _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\\\end{array}}}
Mit der obigen Konstruktion kann man die Ungleichung auch auf Produkte auch für 2 oder 3 Summanden anwenden, indem man einzelne Vektoren als Einselement
e
A
∈
A
{\displaystyle e_{A}\in A}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
x
4
=
e
A
{\displaystyle x_{4}=e_{A}}
Bearbeiten
Ungleichung mit 4 Faktoren auf
‖
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
⋅
e
A
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \|x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot e_{A}\|_{(\alpha ,k)}}
‖
∏
i
=
1
3
x
i
‖
(
α
,
k
)
≤
M
β
k
⋅
‖
x
1
⋅
x
2
‖
β
k
⋅
‖
x
3
⋅
e
A
‖
β
k
≤
M
β
k
⋅
M
γ
k
2
⋅
‖
e
A
‖
γ
k
⏟
≤
M
β
k
⋅
∏
k
=
1
3
‖
x
k
‖
γ
k
≤
M
β
k
⏟
≥
1
2
⋅
M
γ
k
⏟
≥
1
2
⋅
∏
k
=
1
4
‖
x
k
‖
γ
k
≤
M
β
k
6
⋅
M
γ
k
6
⋅
∏
k
=
1
3
‖
x
k
‖
γ
k
=
∏
k
=
1
3
‖
x
k
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\prod _{i=1}^{3}x_{i}\right\|_{(\alpha ,k)}&\leq &\displaystyle M_{\beta _{k}}\cdot \|x_{1}\cdot x_{2}\|_{\beta _{k}}\cdot \|x_{3}\cdot e_{A}\|_{\beta _{k}}\\&\leq &\displaystyle M_{\beta _{k}}\cdot {M_{\gamma _{k}}}^{2}\cdot \underbrace {\|e_{A}\|_{\gamma _{k}}} _{\leq M_{\beta _{k}}}\cdot \prod _{k=1}^{3}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\displaystyle {\underbrace {M_{\beta _{k}}} _{\geq 1}}^{2}\cdot {\underbrace {M_{\gamma _{k}}} _{\geq 1}}^{2}\cdot \prod _{k=1}^{4}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}\\&\leq &\displaystyle {M_{\beta _{k}}}^{6}\cdot {M_{\gamma _{k}}}^{6}\cdot \prod _{k=1}^{3}\|x_{k}\|_{\gamma _{k}}=\displaystyle \prod _{k=1}^{3}\|x_{k}\|_{(\alpha ,k+1)}\\\end{array}}}
Bearbeiten
Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h.
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
M
β
k
⋅
‖
x
‖
β
k
⋅
‖
e
A
‖
β
k
≤
M
β
k
⋅
M
γ
k
⋅
‖
x
‖
γ
k
⋅
‖
e
A
‖
γ
k
⏟
≤
M
γ
k
⋅
‖
e
A
‖
β
k
⏟
≤
M
β
k
≤
M
β
k
2
⋅
M
γ
k
2
⋅
‖
x
‖
γ
k
⏟
=
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
=
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x\|_{(\alpha ,k)}&\leq &M_{\beta _{k}}\cdot \|x\|_{\beta _{k}}\cdot \|e_{A}\|_{\beta _{k}}\\&\leq &M_{\beta _{k}}\cdot {M_{\gamma _{k}}}\cdot \|x\|_{\gamma _{k}}\cdot \underbrace {\|e_{A}\|_{\gamma _{k}}} _{\leq M_{\gamma _{k}}}\cdot \underbrace {\|e_{A}\|_{\beta _{k}}} _{\leq M_{\beta _{k}}}\\&\leq &\underbrace {{M_{\beta _{k}}}^{2}\cdot {M_{\gamma _{k}}}^{2}\cdot \|x\|_{\gamma _{k}}} _{=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}}
Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Faktoren angewendet:
‖
∏
k
=
1
n
x
k
⋅
y
k
‖
α
≤
‖
x
k
‖
(
α
,
1
)
⋅
‖
y
k
‖
(
α
,
1
)
⋅
‖
∏
k
=
2
n
x
k
⋅
y
k
‖
(
α
,
1
)
≤
∏
k
=
1
2
(
‖
x
k
‖
(
α
,
2
)
⋅
‖
y
k
‖
(
α
,
2
)
)
⋅
‖
∏
k
=
3
n
x
k
⋅
y
k
‖
(
α
,
2
)
≤
∏
k
=
1
n
(
‖
x
k
‖
(
α
,
k
)
⋅
‖
y
k
‖
(
α
,
k
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\cdot \left\|\prod _{k=2}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \prod _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)\cdot \left\|\prod _{k=3}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}}
![{\displaystyle A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13daf73f25e64310e7e5d67c5aa8dd4f97cb884f)
