Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume
Satz von Hahn-Banach - normierte Räume Bearbeiten
Es seien nun
- ein Untervektorraum eines normierten Raumes über dem Körper mit oder ;
- eine Norm;
- ein stetiges lineares Funktional, mit .
Dann gibt es ein stetiges lineares Funktional , so dass
- und.
- und .
Bemerkung Bearbeiten
Im Gegensatz zu den beiden Sätzen von Hahn-Banach im reellwertigen bzw. komplexwertigen wird in dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume eine Aussage über stetige lineare Funktionale gemacht. Die Stetigkeit wird mit dem Ziel betrachtet, eine Aussage über den topologischen Dualraum eines normierten Raumes zu machen.
Unterscheidung topologischer und algebraischer Dualraum Bearbeiten
- topologischer Dualraum
- algebraischer Dualraum
Über den Satz von Hahn-Banach für normierte Räume kann man im weiteren Verlauf zeigen, dass in einem topologischen Dualraum stetige lineare Funktionale existieren, also gilt.
Stetigkeitssatz für lineare Abbildung Bearbeiten
Im Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen werden äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit genannt. Eine dieser Eigenschaften ist:
- Es existiert ein mit für alle mit bzw.
- Es existiert ein
D.h. die Stetigkeit der linearen Abbildung ist äquivalent zur Beschränktheit des Bildes von der Einheitskugel in .
Norm einer linearen Abbildung Bearbeiten
Seien und normierte Vektorräume über dem Körper und die Menge der linearen Abbildung von nach . Sei eine lineare Abbildung. Dann ist die Operatornorm
bezüglich der beiden Normen und durch
definiert. Für stetige lineare Abbildungen gilt .
Aufgaben Bearbeiten
- Zeigen Sie, dass eine Halbnorm auf dem topologischen Dualraum ist!
- Geben Sie mit ein Beispiel für an, bei dem keine Norm ist.
Beweisidee - Hahn-Banach - normierte Räume Bearbeiten
Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte:
- Über die wird eine Halbnorm auf definiert und gezeigt, dass das die Voraussetzung für die Anwendung des reellen bzw. komplexen Falls des Satzes von Hahn-Banach erfüllt.
- Im zweiten Teil des Beweises wird die Stetigkeit von mit gezeigt.
Beweisteil 1: Halbnormdefinition Bearbeiten
Da gilt und eine Norm auf ist, ist
eine Halbnorm auf (für sogar eine Norm)
Beweisschritt 1.1: Stetigkeit Bearbeiten
Mit der Linearität von und dem Betrag wird zu einem normierten Raum im Wertebereich der linearen Abbildung Norm . Das Kriterium (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert dann:
Beweisschritt 1.2: Anwendung Hahn-Banach Bearbeiten
Ferner gilt nach dem komplexen Fall von Hahn-Banach, dass eine lineares Funktional , das folgenden beiden Eigenschaften:
- und.
- für alle
Beweisteil 2: Stetigkeit von F Bearbeiten
Der reelle bzw. komplexen Fall von Hahn-Banach liefert zwar ein lineares Funktional auf . Die Stetigkeit von ist aber noch durch die Beschränktheit der Operatornorm mit zu zeigen.
Beweisschritt 2.1: Abschätzung Operatornormen Bearbeiten
Zunächst einmal gilt wegen die Abschätzung
Beweisschritt 2.2: Abschätzung Operatornormen Bearbeiten
Ferner gilt aber auch durch Hahn-Banach, dass:
Für und der linearität von damit auch:
Beweisschritt 2.3: Supremum Bearbeiten
Man erhält durch Anwendung des Supremums auf die Ungleichung mit :
Beweisschritt 2.4: Bearbeiten
Insgesamt gilt mit 2.2 und 2.3 die Behauptung und da ebenfalls als Supremum beschränkt ist, ist nicht nur linear, sondern auch stetig. q.e.d.
Siehe auch Bearbeiten
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