Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - reeller Fall

Satz von Hahn-Banach - reeller Fall Bearbeiten

Es seien nun

  •   ein Untervektorraum eines  -Vektorraumes  ;
  •   eine Halbnorm;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Beweis Bearbeiten

Der Beweis gliedert sich in zwei Teile:

  • Die Erweiterung des Funktional mit Definitionsbereich   auf   um eine weitere Dimension.
  • Anwendung des Lemmas von Zorn auf beliebige Erweiterungen, wobei die partielle Ordnung durch die Mengeninklusion der Unterräume   definiert wird.

Beweisteil 1: Eindimensionale Erweiterung des Funktionals Bearbeiten

Sei nun   und   der von   und   erzeugte Untervektorraum. Das Funktional   wird nur auf   mit dem Definitionsbereich erweitert.

Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität Bearbeiten

Unter der Ausnutzung der Eigenschaften der Linearität muss das gesuchte lineare Funktional   die folgende Eigenschaft für ein   erfüllen:

 

Die Aufgabe in Beweisteil 1 besteht also darin, ein   zu finden, das die Eigenschaft   für alle   erfüllt.

Beweisschritt 1.2: Beschränktheit durch die Halbnorm Bearbeiten

Für ein beliebiges   wird nun ein lineares Funktional   definiert mit:

 

Für alle   gilt die Bedingung  . Das gesuchte   wird aus der Menge der lineare Funktionale   bestimmt.

Beweisschritt 1.3: Beschränktheit durch die Halbnorm Bearbeiten

Wenn ein lineares Funktional   die Eigenschaft   erfüllt, gilt für alle   die Bedingung:

 

Beweisschritt 1.3: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fallunterscheidnng Bearbeiten

Wir betrachten nun diese Gleichung mit einer Fallunterscheidung für   und  

  • Fall 1:  
  • Fall 2:  
  • Fall 3:  

Beweisschritt 1.4: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 1 Bearbeiten

Fall 1  : In diesem Fall ist   und die Ungleichung   sogar für beliebige  

Beweisschritt 1.5: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 2 Bearbeiten

Fall 2  : Für   und Multiplikation der Gleichung mit   erhält man die Ungleichung:

 

Damit erhält man   bzw.   für alle  .

Beweisschritt 1.6: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 3 Bearbeiten

Fall 3   Für   und Multiplikation der Gleichung mit   erhält man die Ungleichung:

 

Damit erhält man   bzw.   für alle  .

Beweisschritt 1.7: Ungleichungskette für alpha Bearbeiten

Die Fallunterscheidung liefert also folgende Ungleichungskette für  , die ein gesuchtes lineares Funktional   erfüllen für beliebige   erfüllen muss:

 

Da   fest gewählt werden muss, kann das nur extieren, wenn für alle   auch die folgenden Ungleichung gilt:

 

Beweisschritt 1.8: Ungleichungskette für Infimum und Supremum Bearbeiten

Wir zeigen nun in 1.8. dass die folgenden Ungleichung für das Supremum   und Infimum   gilt:

 

Wenn diese Ungleichung gilt, kann das gesuchte   aus dem Intervall   beliebig gewählt werden.

Bemerkung 1.8.0: Ungleichungskette für Infimum und Supremum Bearbeiten

Das Supremum   und Infimum   wird bzgl.   gebildet und hängt damit von der Wahl von   und   ab.

Beweisschritt 1.8.1: Ungleichungskette für Infimum und Supremum Bearbeiten

Für alle   gilt

 

und man erhält  .

Beweisschritt 1.8.2: Ungleichungskette für Infimum und Supremum Bearbeiten

Da die Aussage   für alle   gilt erhält man die Aussage ebenfalls für das Infimum und Supremum und   mit:

 

Beweisschritt 1.9 Bearbeiten

Wähle nun ein beliebiges   und definiere die gesuchte Erweiterung   mit     kann nur induktiv auf   erweitern und damit kann man immer weiter die Funktionale auf Obermenge von dem gegebenen   erweitert. Nun fehlt noch der zweite Beweisteil über das Lemma von Zorn, dass man in unendlichdimensionalen Vektorräume auch auf ganz   das lineare Funktional erweitern kann.

Beweisteil 2: Anwendung des Lemma von Zorn Bearbeiten

Für die Anwendung des Lemmas von Zorn definiere wir zunächst ein Menge   von Paaren   mit:

  •   ist eine Untervektorraum von  ,
  •   ist ein lineares Funktional auf  ,
  •   und  .

Beweisschritt 2.1: Definition partiellen Ordnung Bearbeiten

Auf der Menge   von Paaren   definiert man nun eine partielle Ordnung:

 

Beweisschritt 2.2: Eigenschaften der Menge Bearbeiten

Die Menge   von Paaren   besitzt folgende Eigenschaften:

  •  , da   aus der Voraussetzung des Satzes die Eigenschaften erfüllt.
  • Für eine Kette   mit   (d.h. es gibt eine totale Ordnung auf  ) kann z.B. über die sukzessive Erweiterungen   ein Kette konstruieren.

Beweisschritt 2.3: Ketten haben obere Schranken Bearbeiten

Wir zeigen nun, dass unter den oben genannte Voraussetzungen Ketten obere Schranken besitzen. Wenn diese Eigenschaften der partiell geordneten Menge gegeben ist, kann man das Lemma von Zorn auf   anwenden.

  • Sei   eine Kette und
  •   ist ein Untervektorraum von  .

Im Allgemeinen ist die Vereinigung von zwei Untervektorräumen nicht notwendigerweise wieder ein Untervektorraum. In diesem Fall gilt die Aussage aber, weil durch die vollständige Ordnung auf   eine Mengeninklusion zwischen zwei beliebige Paare   mit   und   gilt.

Beweisschritt 2.4: Definition eines Funktionals für obere Schranken Bearbeiten

Mit   ist ein Untervektorraum definiert für die Kette. Für eine obere Schranke der Kette benötigt man noch ein lineares Funktional  , das mit   auch ein Element in   ist:

  • Sei  , dann gibt es ein   mit  .
  • Definiere nun  . Diese Definition ist u.a. durch die vollständige Ordnung auf   wohldefiniert, da mit  auch   erfüllt ist.

Beweisschritt 2.5: Maximale Elemente existieren Bearbeiten

Mit dem Lemma von Zorn existieren nun maximale Elemente in   in  . Wir nehmen nun an, dass ein solches maximales Element   die Eigenschaft besitzt, dass   wäre. Dann existiert aber ein  , mit dem man   auf eine Obermenge   erweitert und analog zum Beweisteil 1 eine Paar   definieren, das die Eigenschaft   erfüllt. Dies wäre aber ein Widerspruch zu der Annahme, dass   bereits maximal ist.

Beweiseschritt 3: Bearbeiten

Zusammen mit Beweisteil 1 und 2 gilt nun die Behauptung des Satzes von Hahn-Banach im reelen Fall.  

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