Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach

Einführung Bearbeiten

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Bezug Trennungssatz und Krein-Milman Bearbeiten

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z.B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Geschichte Bearbeiten

Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912[1][2] von Eduard Helly bewiesen.

Entstehung - Namensgebung Bearbeiten

Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst.[3] Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen.[4] Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben.[5]

Endlichdimensionaler Fall Bearbeiten

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums   bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors   dar, so kann man die jeweiligen  -ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

 

auffassen (dabei ist   der Grundkörper   bzw.  ).

Koordinatenabbildung Bearbeiten

Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

 

Die Abbildungen   sind lineare Funktionale.

Trennungseigenschaft Bearbeiten

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h. sind   verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index  , so dass   ist. Die   sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

Unendlichdimensionaler Fall Bearbeiten

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i.d.R. keine Koordinatenfunktionen   mit einer vergleichbaren Konstruktion, wenn man weiterhin die Stetigkeit der Koordinatenfunktionen verlangt.

Trennung der Punkte und Hahn-Banach Bearbeiten

Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum   (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum)   die Punkte trennt, d.h.

 

Wobei   der Dualraum von   ist und bezeichnet die Menge aller linearen Funktionale   mit   als  -Vektorraum. Ist   eine topologischer Vektorraum, bezeichnet   den topologischen Dualraum.

Formulierung Bearbeiten

Es sei   ein Vektorraum über  . Mit der Satzgruppe vom Hahn-Banach kann ein lineares Funktional   von einem Unterraum   auf den ganzen Definitionsbereich   mit   einer sublinearen Abbildung erweitert werden, wobei sowohl   und   für eine sublineare Abbildung   erfüllt. Im Speziellen kann man als sublinearen Abbildung z.B. eine Halbnorm oder Norm verwendet werden, wie z.B. in der folgenden Version von Hahn-Banach.

Satz von Hahn-Banach - reeller Fall Bearbeiten

Es seien nun

  •   ein Untervektorraum eines  -Vektorraumes  ;
  •   eine Halbnorm;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall Bearbeiten

Es seien nun

  •   ein Untervektorraum eines  -Vektorraumes  ;
  •   eine Halbnorm;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall - Realteilabschätzung Bearbeiten

Es seien nun

  •   ein linearer Unterraum;
  •   eine sublineare Abbildung;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und
  •  

für alle   gilt.

Beweisidee Bearbeiten

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen   von   auf Teilräume   mit  , für die   für alle   gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung   ist.

Satzgruppe von Hahn-Banach Bearbeiten

Wir werden die obige Aussage zunächst

Korollare 1: Trennungseigenschaft Bearbeiten

Häufig wird eine der folgenden Aussagen für den Satz von Hahn-Banach normierte Räume   mit   verwendet, die leicht aus obigem Satz hergeleitet werden können:

  • Für jedes   existiert ein lineares Funktional   mit Norm  , für das   gilt. Sind   verschiedene Vektoren, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf dies für   Trennung von   und   anwendet (für   gilt die Aussage unmittelbar).
  • Ist allgemeiner   ein Unterraum, und liegt   nicht im Abschluss von  , so gibt es ein lineares Funktional   mit Norm  , für das   auf   verschwindet (d.h.  ) und   gilt.

Korollare 2: Normierte Vektoräume Bearbeiten

  • Ist   ein normierter Raum,   ein Teilraum und   ein stetiges lineares Funktional auf  , so kann   zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz   fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung   von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung   der topologischen Dualräume.
  • Ist   ein normierter Raum, so ist ein Unterraum   genau dann dicht in  , falls aus   und   stets   folgt.[6]

Korollare 3: Trennungsätze Bearbeiten

In einem normierter Vektorraum   oder lokalkonvexer Raum  mit einem Halbnormensystem   über dem Körper   oder   ist es das Ziel, eine abgeschlossene und konvexe Menge   von Elementen   aus dem Komplement zu trennen. Dies wird durch Trennungssätze beschrieben Diese Folgerungen von Hahn-Banach geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Helly, Über lineare Funktionaloperatoren, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, Band 121, 1912, S. 265–297
  2. Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125. Nach Hochstadt ist Helly's Beweis vollständig modern in der Form und identisch mit dem Standardbeweis.
  3. Helly benutzte den Satz von Hahn-Banach als Lemma für einen Beweis eines Satzes von Riesz, auf den sich Banach in der Referenz zu Helly bezog.
  4. Bohnenblust, Sobcyzk, Extensions of functionals on complete linear spaces, Bull. AMS, Band 44, 1938, S. 91–93. Sie verweisen darauf das ihr Beweis identisch mit dem von Francis J. Murray von 1936 ist (Murray, Linear transformations in  , p >1, Trans. AMS, Band 39, 1936, S. 83–100), der sich wiederum auf Banach bezieht aber nicht von Satz von Hahn-Banach spricht.
  5. Dieudonné, Sur le Théoréme de Hahn-Banach, La Rev. Sci. 79, 1941, S. 642–643.
  6. Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer, 2000, Korollar III.1.9


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