Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall
Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall
BearbeitenEs seien nun
- ein Untervektorraum eines -Vektorraumes ;
- eine Halbnorm;
- ein lineares Funktional, für das für alle gilt.
Dann gibt es ein lineares Funktional , so dass
- und.
- für alle gilt.
Bemerkung
BearbeitenDer folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk[1] aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper erweitert.
Beweis
BearbeitenDer Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in . Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:
- Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion einer linearen Abbildung,
- Die Erweiterung der linearen Realteilfunktion mit dem reellen Hahn-Banach zu und Definition der komplexen Erweiterung
- -Linerarität von aus -Linerarität von folgern.
- Nachweis der Eigenschaften und für alle .
Beweisteil 1: Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion
BearbeitenSei ein -lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum . Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.
- mit und
- mit .
Wir zeigen nun für in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildungen auch -lineare Abbildungen sind.
Bemerkung 1: Anwendung auf lineare Funktionale
BearbeitenDer im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional wird später sowohl für eine gegebene Funktion auf als auch für die Erweiterung auf ganz mit verwendet.
Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität
BearbeitenSeien nun und . Dann liefert die -Linearität von
Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich
BearbeitenZwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus
Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.
- und
- .
Damit sind die Funktionen und auch -linear.
Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion
BearbeitenDie Funktionen und können aber nicht unabhängig -linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:
Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen und .
Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung
BearbeitenDurch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit folgende Gleichungskette:
Damit kann man durch ersetzen und erhält:
Beweisteil 2: Erweiterung der reell-linearen Funktion g
BearbeitenDurch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals bereits durch die -lineare Realteilfunktion eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion über eindeutig durch definiert ist. Auf wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.
Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung
BearbeitenZunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle gilt:
Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag
BearbeitenDa nach Voraussetzung mit für alle gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:
Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum
BearbeitenMit kann man den Grundraum und den Untervektorraum auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das -lineare Funktional definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional , so dass
- und.
- für alle gilt.
Beweisschritt 2.3: Definition von F über G
BearbeitenMan definiert nun die Abbildung wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:
wobei ebenso wie auch -linear ist.
Beweisteil 3: Linearität von F
BearbeitenIn Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes -lineare Funktional bereits durch ein -lineare Funktional definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über
auch -linear ist.
Bemerkung 3.0: Ersetzung der 1
BearbeitenIn den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:
Beweisschritt 3.1: Additivität von F
BearbeitenFür gilt :
Beweisschritt 3.2: Homogenität von F
BearbeitenFür , und gilt:
Beweisteil 4: Hahn-Banach Eigenschaften von F
BearbeitenMit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für . Also bleibt zu zeigen:
- und.
- für alle gilt.
Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U
BearbeitenSei beliebig gewählt. Weil ein Untervektorraum des -Vektorraumes ist, liegt auch . Damit erhält man:
Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung
BearbeitenFür den Nachweis der Ungleichung für alle erfolgt eine Fallunterscheidung für:
- und
- .
Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung
BearbeitenFall : Da eine Halbnorm ist, gilt . Damit erhält man für die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:
Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung
BearbeitenFall : Im zweiten Fall sei nun mit , und . Mit dreht man das komplexwertige so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass so, dass gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.
Beweisschritt 4.5: Halbnormbeschränkung
BearbeitenDamit erhält man folgende Ungleichung:
mit für alle .
Beweisschritt 4.6
BearbeitenDamit besitzt insgesamt das lineares Funktional die folgenden beiden Eigenschaften:
- und.
- für alle
Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.
Siehe auch
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Quellen/Literatur
Bearbeiten- ↑ Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302