Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall


Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

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Es seien nun

  •   ein Untervektorraum eines  -Vektorraumes  ;
  •   eine Halbnorm;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Bemerkung

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Der folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk[1] aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper   erweitert.

Der Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in  . Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:

  • Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion einer linearen Abbildung,
  • Die Erweiterung der linearen Realteilfunktion   mit dem reellen Hahn-Banach zu   und Definition der komplexen Erweiterung  
  •  -Linerarität von   aus  -Linerarität von   folgern.
  • Nachweis der Eigenschaften   und   für alle  .

Beweisteil 1: Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion

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Sei   ein  -lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum  . Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.

  •   mit   und
  •   mit  .

Wir zeigen nun für   in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildungen   auch  -lineare Abbildungen sind.

Bemerkung 1: Anwendung auf lineare Funktionale

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Der im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional   wird später sowohl für eine gegebene Funktion   auf   als auch für die Erweiterung   auf ganz   mit   verwendet.

Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität

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Seien nun   und  . Dann liefert die  -Linearität von  

 

Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich

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Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

 

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

  •   und
  •  .

Damit sind die Funktionen   und   auch  -linear.

Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion

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Die Funktionen   und   können aber nicht unabhängig  -linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

 

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen   und  .

Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung

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Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit   folgende Gleichungskette:

 

Damit kann man   durch   ersetzen und erhält:

 

Beweisteil 2: Erweiterung der reell-linearen Funktion g

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Durch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals   bereits durch die  -lineare Realteilfunktion   eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion   über   eindeutig durch   definiert ist. Auf   wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.

Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung

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Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle   gilt:

 

Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag

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Da nach Voraussetzung mit   für alle   gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:

 

Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum

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Mit   kann man den Grundraum   und den Untervektorraum   auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das  -lineare Funktional   definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional  , so dass

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Beweisschritt 2.3: Definition von F über G

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Man definiert nun die Abbildung   wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

 

wobei   ebenso wie   auch  -linear ist.

Beweisteil 3: Linearität von F

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In Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes  -lineare Funktional   bereits durch ein  -lineare Funktional   definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über

 

auch  -linear ist.

Bemerkung 3.0: Ersetzung der 1

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In den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes   in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:

 

Beweisschritt 3.1: Additivität von F

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Für   gilt  :

 

Beweisschritt 3.2: Homogenität von F

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Für  ,   und  gilt:

 

Beweisteil 4: Hahn-Banach Eigenschaften von F

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Mit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional   für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für  . Also bleibt zu zeigen:

  •   und.
  •   für alle   gilt.

Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U

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Sei   beliebig gewählt. Weil   ein Untervektorraum des  -Vektorraumes   ist, liegt auch  . Damit erhält man:

 

Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung

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Für den Nachweis der Ungleichung   für alle   erfolgt eine Fallunterscheidung für:

  •   und
  •  .

Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung

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Fall  : Da   eine Halbnorm ist, gilt  . Damit erhält man für   die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

 

Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung

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Fall  : Im zweiten Fall sei nun   mit  ,   und  . Mit   dreht man das komplexwertige   so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass   so, dass   gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.

Beweisschritt 4.5: Halbnormbeschränkung

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Damit erhält man folgende Ungleichung:

 

mit   für alle  .

Beweisschritt 4.6

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Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional   die folgenden beiden Eigenschaften:

  •   und.
  •   für alle  

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

Siehe auch

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Quellen/Literatur

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  1. Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302