Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig

Lineare Abbildung - nicht stetig

Da lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$ automatisch stetig sind, müssen wir für eine unstetige lineare Abbildung einen unendlichdimensonale Vektorraum $V$ als Definitionsbereich der linearen Abbildung $T:V\to W$ wählen.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

Im Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen werden vier äquivalente Bedingungen für die Stetigkeit angegeben. Für den Stetigkeitsnachweis eignet sich in der Regel am besten die Bedingung (4), während für den Nachweis, dass eine lineare Funktion nicht stetig ist die Negation der Bedingung (3) gut geeignet ist.

Negation des Stetigkeitskriteriums

Nach dem charakterisieren alle Kriterien (2)-(4) stetige lineare Funktionen auf normierten Räumen. Da diese Bedingungen äquivalent zu Stetigkeit sind, liefert die Negation eines Stetigkeitskriteriums eine Eigenschaft, um nachzuweisen, dass eine lineare Abbildung nicht stetig ist. Angewendet auf

(3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$

erhält man als Kriterium für nicht stetige Funktionen.

($\neg$3) Für alle $M\in \mathbb {N}$ gibt es $x_{_{M}}\in X$ mit $\|x_{_{M}}\|_{X}\leq 1$ für das $\|T(x_{_{M}})\|_{Y}>M$ gilt.

Die Länge von Bilder aus der Einheitskugel in $X$ sind also nicht normbeschränkt in $Y$.

Beispiele - Lineare Abbildungen - nicht stetig

Es werden folgende Beispiele für lineare Abbildungen angegeben, die nicht stetig sind.

• Definitionsbereich: Polynomvektorraum
• Definitionbereich: Stetige Funktionen mit Integralnorm

Polynomvektorraum

In dem Beispiel wird der Polynomvektorraum $V:=\mathbb {C} [x]$ mit der $\ell _{1}(\mathbb {C} )$-Norm topologisiert. Mit der Negation des Stetigkeitskriteriums (3) wird in dem folgenden Beispiel gezeigt, dass die Bilder von Vektoren aus der Einheitskugel im Polynomraum unbeschränkt sind.

Definitionsbereich einer unstetigen linearen Abbildung

Sei $V:=\mathbb {C} [x]$ der $\mathbb {C}$-Vektorraum der Polynome mit komplexen Koeffizienten.

$\mathbb {C} [x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(\mathbb {C} )\wedge p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}\right.\right\}$

Dabei entspricht $c_{oo}(\mathbb {C} )$ der Menge Folgen in $\mathbb {C}$, die ab einer Indexschranke nur noch die 0 als Folgenglied besitzt. Die Notation eines Polynoms $p(x):=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot x^{k}$ als Reihe $p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}$ bei dem fast alle Koeffizienten $p_{k}=0$ sind, hat nur formale Gründe. Ansonsten muss man den Grad eines Polynoms $n$ bei algebraischen Operationen nicht aufwendig formal berücksichtigten.

Polynomvektorraum als normierten Raum

Auf $V$ ist folgende Norm $\|\cdot \|_{V}$ definiert. Für ein Polynom $p\in \mathbb {C} [x]$ mit $p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}$ erhält man die Norm $\|p\|_{V}$ auf $V:=\mathbb {C} [t]$ wie folgt:

$\|p\|_{_{V}}:=\sum _{k=0}^{\infty }|p_{k}|$

Dabei ist die Reihe auf der rechten Seite ein endliche Summe mit $\|p\|_{_{V}}=\sum _{k=0}^{n}|p_{k}|$, falls der Grad des Polynoms $n$

Wertebereich der unstetigen linearen Abbildung

Um die unstetige Abbildung möglichst einfach zu halten, wählen wir als Werte die komplexen Zahlen $(\mathbb {C} ,|\cdot |)$ mit dem Betrag als Norm auf dem Vektorraum. Damit $W:=\mathbb {C}$ mit dem Betrag ein nomierter $\mathbb {C}$-Vektorraum.

Definition der unstetigen linearen Abbildung

Die lineare Abbildung $T:V\to W$ ist wie folgt definiert:

${\begin{array}{rcl}T:V&\to &W\\v&\mapsto &T(p)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k\cdot p_{k}\\\end{array}}$

Aufgabe - Unstetige lineare Abbildung

• Sei $p(x)=(2+i)\cdot x^{2}+(3-4i)\cdot x+(1+i)$ als Polynome $p\in \mathbb {C} [x]$ gegeben.
  • Berechnen Sie $\|p\|$
  • Berechnen Sie das Bild von $p$ unter der Abbildung $T$, also $T(p)\in \mathbb {C}$.
• Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung $T:V\to W$ linear vom Vektorraum der Polynome $\mathbb {C} [x]$ nach $\mathbb {C}$ ist.
• Zeigen Sie, dass die Abbildung $T:V\to W$ nicht stetig ist.
  • Verwenden Sie dazu die Polynome $p^{(n)}\in V$ mit $p^{(n)}(x):=x^{n}$,
  • zeigen Sie, dass und $\|p^{(n)}\|=1$ gilt,
  • zeigen Sie, dass die Bildfolge $T(p^{(n)})$ unbeschränkt ist.
  • Begründen Sie dann mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, dass $T$ nicht stetig ist.

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