Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum Bearbeiten

Ein topologischer Vektorraum   über   ist ein Vektorraum über dem Körper  , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

 

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definition: Umgebungen Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum mit einer Topologie   als System von offenen Mengen   und  , dann bezeichnet

  •   die Menge aller Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt  

Bemerkung: Indizierung mit der Topologie Bearbeiten

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index   als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung Bearbeiten

Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur  -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus   eine Indexschranke   eines Netzes   finden, ab der alle   liegen mit  . Da die  -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle   zu zeigen.

Konvergenz in topologischen Räumen Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum,  ,   eine Indexmenge (partielle Ordnung) und   ein Netz. Die Konvergenz von   gegen   wird dann wie folgt definiert:

 
.

(dabei ist " " für   die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).

Definiton: Umgebungsbasis Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum,   und   die Menge aller Umgebungen von  .   heißt Umgebungsbasis von  , wenn es zu jedem : 

Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen Bearbeiten

Sei   ein normierter Raum, dann bilden die  -Kugeln

 

eine Umgebungsbasis von   der Menge aller Umgebungen von   von  .

Aufgabe 1 Bearbeiten

Sei   ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie  .

  • Bestimmen Sie   für ein beliebiges  .
  • Zeigen Sie, dass jede Folge   in   gegen einen beliebigen Grenzwert   konvergiert.

Aufgabe 2 Bearbeiten

Sei   ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

 .
  • Bestimmen Sie   für ein beliebiges  .
  • Aus wie vielen Mengen besteht   minimal für ein beliebiges  ?
  • Geben Sie alle Folgen   in   formal an, die gegen einen Grenzwert   konvergieren!

Definition: Offene Mengen Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   ist das System der offenen Mengen, d.h.:

 

Aufgabe Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag  , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

 
  • Zeigen Sie, dass   ein topologischer Raum ist.
  • Zeigen Sie, dass die Folge   in dem topologischen Raum   nicht gegen   konvergiert.

Dabei ist   das Komplement von   in  .

Bemerkung: offen - abgeschlossen Bearbeiten

Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie   sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Definition: Abgeschlossene Mengen Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   ist das System der offenen Mengen.

 

Definition: Offener Kern Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und  , dann ist der offene Kern   von   die Vereinigung aller offenen Teilmengen von  .

 

Definition: Abgeschlossene Hülle Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle   von   ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von  , die   enthalten und   offen ist.

 

Definition: Rand einer Menge Bearbeiten

Der topologische Rand   von   ist wie folgt definiert:

 

Bemerkung: Folgen und Netze Bearbeiten

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Definition: Netze Bearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet   die Menge aller mit   indizierten Familien in  :

 

Definition: endliche Folgen Bearbeiten

Sei   ein Vektorraum, dann bezeichnet   die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in  :

 

Definition: Algebra Bearbeiten

Eine Algebra   über dem Körper   ist ein Vektorraum über  , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

 

definiert ist, bei der für alle   und   folgende Eigenschaften erfüllt sind:

 

Definition: Topologische Algebra Bearbeiten

Eine topologische Algebra   über dem Körper   ist ein topologischer Vektorraum   über  , bei dem auch die Multiplikation

 

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation Bearbeiten

Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

 

Multiplikative Topologie - Stetigkeit Bearbeiten

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

 

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale Bearbeiten

Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen

Unitale Algebra Bearbeiten

Die Algebra   heißt unital, falls sie ein neutrales Element   der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man   für alle  . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit   bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.


Aufgabe: Matrixalgebren Bearbeiten

Betrachten Sie die Menge   der quadratischen  -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (  ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass   mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Faltung auf dem Funktionenraum Bearbeiten

Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.

Definition: Mengen und Verknüpfungen Bearbeiten

Sei   eine topologische Algebra über dem Körper  ,   und   Teilmengen von  , dann definiert man

 

Aufgaben Bearbeiten

Zeichnen Sie die folgenden Menge   der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem   mit   und   und den folgenden Intervallen  :

  •  
  •  
  •  

Siehe auch Bearbeiten

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