Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra
Definition: Topologischer Vektorraum Bearbeiten
Ein topologischer Vektorraum über ist ein Vektorraum über dem Körper , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.
Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.
Definition: Umgebungen Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum mit einer Topologie als System von offenen Mengen und , dann bezeichnet
- die Menge aller Umgebungen vom Punkt ,
- die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt ,
- die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt
Bemerkung: Indizierung mit der Topologie Bearbeiten
Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.
Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung Bearbeiten
Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus eine Indexschranke eines Netzes finden, ab der alle liegen mit . Da die -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle zu zeigen.
Konvergenz in topologischen Räumen Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum, , eine Indexmenge (partielle Ordnung) und ein Netz. Die Konvergenz von gegen wird dann wie folgt definiert:
(dabei ist " " für die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).
Definiton: Umgebungsbasis Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . heißt Umgebungsbasis von , wenn es zu jedem :
Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen Bearbeiten
Sei ein normierter Raum, dann bilden die -Kugeln
eine Umgebungsbasis von der Menge aller Umgebungen von von .
Aufgabe 1 Bearbeiten
Sei ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie .
- Bestimmen Sie für ein beliebiges .
- Zeigen Sie, dass jede Folge in gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert.
Aufgabe 2 Bearbeiten
Sei ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:
- .
- Bestimmen Sie für ein beliebiges .
- Aus wie vielen Mengen besteht minimal für ein beliebiges ?
- Geben Sie alle Folgen in formal an, die gegen einen Grenzwert konvergieren!
Definition: Offene Mengen Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen, d.h.:
Aufgabe Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.
- Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum ist.
- Zeigen Sie, dass die Folge in dem topologischen Raum nicht gegen konvergiert.
Dabei ist das Komplement von in .
Bemerkung: offen - abgeschlossen Bearbeiten
Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.
Definition: Abgeschlossene Mengen Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen.
Definition: Offener Kern Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum und , dann ist der offene Kern von die Vereinigung aller offenen Teilmengen von .
Definition: Abgeschlossene Hülle Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle von ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von , die enthalten und offen ist.
Definition: Rand einer Menge Bearbeiten
Der topologische Rand von ist wie folgt definiert:
Bemerkung: Folgen und Netze Bearbeiten
In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.
Definition: Netze Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum und eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet die Menge aller mit indizierten Familien in :
Definition: endliche Folgen Bearbeiten
Sei ein Vektorraum, dann bezeichnet die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in :
Definition: Algebra Bearbeiten
Eine Algebra über dem Körper ist ein Vektorraum über , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung
definiert ist, bei der für alle und folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Definition: Topologische Algebra Bearbeiten
Eine topologische Algebra über dem Körper ist ein topologischer Vektorraum über , bei dem auch die Multiplikation
eine stetige innere Verknüfung ist.
Stetigkeit der Multiplikation Bearbeiten
Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:
Multiplikative Topologie - Stetigkeit Bearbeiten
Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:
Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale Bearbeiten
Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen
Unitale Algebra Bearbeiten
Die Algebra heißt unital, falls sie ein neutrales Element der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man für alle . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.
Aufgabe: Matrixalgebren Bearbeiten
Betrachten Sie die Menge der quadratischen -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen ( ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.
Faltung auf dem Funktionenraum Bearbeiten
Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.
Definition: Mengen und Verknüpfungen Bearbeiten
Sei eine topologische Algebra über dem Körper , und Teilmengen von , dann definiert man
Aufgaben Bearbeiten
Zeichnen Sie die folgenden Menge der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem mit und und den folgenden Intervallen :
Siehe auch Bearbeiten
- Beispiele für Vektorräume
- Vektorraum
- Topologischer Raum
- Topologischer Vektorraum
- Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem
- Lokalkonvexe Vektorräume
- Pseudokonvexe Vektorräume
- Netze (Mathematik)
- Hausdorffeigenschaft
- Algebraerweiterung
- Normen, Metriken, Topologie
- Minkowski-Funktionale
- Topologisierungslemma für Algebren
- Lemma - Kaskadensummen Gaugefunktionale
- Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
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