Cauchy-Produkt - Stetigkeit
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Halbnormeigenschaften
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Für die folgenden Abbildung
‖
|
⋅
|
‖
α
:→
R
+
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }:\to \mathbb {R} ^{+}}
Quasihalbnormen auf der Polynomalgebra
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
. Die Quasihalbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
Für alle
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
‖
|
λ
⋅
p
|
‖
α
=
∑
n
=
0
∞
C
k
(
α
)
⋅
‖
λ
⋅
p
k
‖
α
=
|
λ
|
⋅
∑
n
=
0
∞
C
k
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
α
=
|
λ
|
⋅
‖
|
λ
⋅
p
|
‖
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|\lambda \cdot p_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&|\lambda |\cdot \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{\alpha }\end{array}}}
Gilt für
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
p
≠
0
A
[
t
]
{\displaystyle p\not =0_{_{A[t]}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
p
k
≠
0
A
{\displaystyle p_{k}\not =0_{_{A}}}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
‖
p
k
‖
α
>
0
⇒
C
k
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
α
>
0
⇒
‖
|
λ
⋅
p
|
‖
α
>
0
{\displaystyle \|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow C_{k}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{\alpha }>0}
Subadditivität mit Stetigkeitskonstante
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Sei
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
Quasihalbnorm .
‖
|
p
+
q
|
‖
α
=
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
‖
p
k
+
q
k
‖
α
≤
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
K
α
⋅
(
‖
p
k
‖
α
+
‖
q
k
‖
α
)
=
K
α
⋅
(
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
‖
p
n
‖
α
+
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
‖
q
n
‖
α
)
=
K
α
⋅
(
‖
|
p
|
‖
α
+
‖
|
q
|
‖
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p+q|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}+q_{k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot K_{\alpha }\cdot \left(\left\|p_{k}\right\|_{\alpha }+\left\|q_{k}\right\|_{\alpha }\right)\\&=&\displaystyle K_{\alpha }\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{n}\right\|_{\alpha }+\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|q_{n}\right\|_{\alpha }\right)\\&=&K_{\alpha }\cdot \left(\|\!|p|\!\|_{\alpha }+\|\!|q|\!\|_{\alpha }\right)\end{array}}}
Stetigkeit der Multiplikation
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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
‖
x
⋅
y
‖
α
≤
‖
x
‖
β
⋅
‖
y
‖
β
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|y\|_{\beta }}
Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
‖
|
⋅
|
‖
β
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\beta }}
Integration der Regularitätsbedingung
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Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation
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Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
K
≥
1
{\textstyle K\geq 1}
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
(
C
n
(
α
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle (C_{n}(\alpha ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(
D
n
(
α
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle (D_{n}(\alpha ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(
C
n
(
β
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle (C_{n}(\beta ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(KL1)
C
i
(
β
)
≥
D
i
(
α
)
{\textstyle C_{i}(\beta )\geq D_{i}(\alpha )}
i
∈
N
0
{\textstyle i\in \mathbb {N} _{0}}
(KL2)
K
α
i
+
j
+
1
⋅
C
i
+
j
(
α
)
≤
C
i
(
β
)
⋅
C
j
(
β
)
{\textstyle K_{\alpha }^{i+j+1}\cdot C_{i+j}(\alpha )\leq C_{i}(\beta )\cdot C_{j}(\beta )}
i
,
j
∈
N
0
{\textstyle i,j\in \mathbb {N} _{0}}
Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra
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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf
A
{\displaystyle A}
Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
‖
|
p
⋅
q
|
‖
α
≤
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
‖
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
α
≤
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
⋅
K
α
n
+
1
⋅
∑
k
=
0
n
‖
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
α
≤
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
C
n
(
α
)
⋅
K
α
n
+
1
⏟
=
C
k
(
β
)
⋅
C
n
−
k
(
β
)
⋅
‖
p
k
‖
β
⋅
‖
q
n
−
k
‖
β
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
C
k
(
β
)
⋅
‖
p
k
‖
β
⋅
C
n
−
k
(
β
)
⋅
‖
q
n
−
k
‖
β
=
‖
|
p
|
‖
β
⋅
‖
|
q
|
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot K_{\alpha }^{n+1}\cdot \sum _{k=0}^{n}\left\|p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\underbrace {C_{n}(\alpha )\cdot K_{\alpha }^{n+1}} _{=C_{k}(\beta )\cdot C_{n-k}(\beta )}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\beta }\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\beta }\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}C_{k}(\beta )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\beta }\cdot C_{n-k}(\beta )\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\beta }\\&=&\|\!|p|\!\|_{\beta }\cdot \|\!|q|\!\|_{\beta }\end{array}}}
Bemerkung: Indizes der Quasihalbnormen
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Mit der obigen Abschätzung für alles
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})}
α
,
β
∈
A
{\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}}
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
‖
|
⋅
|
‖
A
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
α
,
β
∈
A
{\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}}
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})}
Stetigkeitssequenzen
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![{\displaystyle p,q\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1a2e0a3e71f7b320f81e4090bb53df3fd3ce9d)
![{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce37a3f21b3061f5ff6c81bd2bf9b4efc318475a)
![{\displaystyle A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13daf73f25e64310e7e5d67c5aa8dd4f97cb884f)
![{\displaystyle p\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c749fafdbe6240e74f3f5a2a0b3ad5d59f2ab895)
![{\displaystyle p\not =0_{_{A[t]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8df52273877cc876d7f084ea5ab48aaa32cbe1)
