Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

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Betrachtet man zwei Polynome   in dem normierten Raum  .

 

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt  :

 

Halbnormeigenschaften

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Für die folgenden Abbildung   sind Halbnormen auf der Polynomalgebra  . Die Halbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf   werden nun gezeigt. Diese bestehen aus elementaren Anwendungen der Halbnormeigenschaften des gegebenen Halbnormensystems auf  .

Homogenität

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Für alle   und alle   gilt:

 

Definitheit

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Gilt für  , dass   das Nullpolynom in  , dann gibt ein   mit  , d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhält mit der Hausdorff-Eigenschaft der gegebenen topologischen Algebra   mindestens eine Halbnorm   mit   mit:

 

Dreiecksungleichung

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Stetigkeit der Multiplikation

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf   gibt es zu jedem   ein  , sodass für alle  

 

Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf   eine entsprechend Halbnorm   zu definieren, mit der die Cauchy-Multiplikation stetig wird.

TGP-Regularitätskriterium

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Aus der Negation der Eigenschaft, dass ein Element topologisch kleine Potenzen besitzt, erhält man Konstanten  , die als Folge von positive Konstanten   entweder direkt oder über das TGP-Regularitätskriterium für Elemente mit topologisch großen Potenzen für jedes   gewählt werden können. Diese Konstantenfolge   wird in Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation verwendet.

Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

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Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und   Stetigkeitskonstante der Addition einer Halbnorm  . Ferner seien zwei Folgen positiver Zahlen   und   gegeben. Dann gibt es eine Folge   von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

  • (KL1)   für alle  
  • (KL2)   für alle  .

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf   und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man:

 

Bemerkung: Indizes der Halbnormen

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Mit der obigen Abschätzung für alles   erhält man, dass die Multiplikation auf   stetig ist. Die Indizes   induzieren durch das gegebene Halbnormensystem   auch für das Halbnormensystem   auf   induziert. Der Zusammenhang von   bzgl. der Stetigkeit der Multiplikation bleibt auch auf   erhalten.

Stetigkeitssequenzen

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Bei dem obigen Vorgehen muss man nun wieder zu dem   wieder ein   und entsprechende Konstanten finden, um die Halbnorm nach oben submultiplikativ abzuschätzen.

 

Dadurch entstehen Stetigkeitssequenzen der Multiplikation  , die bei einem   starten.

Siehe auch

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