Für die folgenden Abbildung sind Halbnormen auf der Polynomalgebra . Die Halbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf werden nun gezeigt. Diese bestehen aus elementaren Anwendungen der Halbnormeigenschaften des gegebenen Halbnormensystems auf .
Gilt für , dass das Nullpolynom in , dann gibt ein mit , d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhält mit der Hausdorff-Eigenschaft der gegebenen topologischen Algebra mindestens eine Halbnorm mit mit:
Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf gibt es zu jedem ein , sodass für alle
Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf eine entsprechend Halbnorm zu definieren, mit der die Cauchy-Multiplikation stetig wird.
Aus der Negation der Eigenschaft, dass ein Element topologisch kleine Potenzen besitzt, erhält man Konstanten , die als Folge von positive Konstanten entweder direkt oder über das TGP-Regularitätskriterium für Elemente mit topologisch großen Potenzen für jedes gewählt werden können. Diese Konstantenfolge wird in Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation verwendet.
Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und Stetigkeitskonstante der Addition einer Halbnorm . Ferner seien zwei Folgen positiver Zahlen und gegeben. Dann gibt es eine Folge von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:
Mit der obigen Abschätzung für alles erhält man, dass die Multiplikation auf stetig ist.
Die Indizes induzieren durch das gegebene Halbnormensystem auch für das Halbnormensystem auf induziert. Der Zusammenhang von bzgl. der Stetigkeit der Multiplikation bleibt auch auf erhalten.
Bei dem obigen Vorgehen muss man nun wieder zu dem wieder ein und entsprechende Konstanten finden, um die Halbnorm nach oben submultiplikativ abzuschätzen.
Dadurch entstehen Stetigkeitssequenzen der Multiplikation , die bei einem starten.