Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum
Einleitung
BearbeitenDiese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen -normierbaren Raum und kann kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.
Zielsetzung
BearbeitenIn endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls -Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine -Norm erzeugt wird.
Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten
BearbeitenSei die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in der Form
Beispiel - Konvergenzradius Potenzreihe
BearbeitenFür ein hat die folgende Reihe
den Konvergenzradius
Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihen
BearbeitenDabei müssen die Potenzreihen nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe
hat z.B. keinen positiven Konvergenzradius, weil die Folge der Koeffizienten keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten.
Definition des Vektorraums
BearbeitenWir definieren nun den Vektorraum als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit . Diese definiert später die -Homogenität der p-Norm:
Damit der Vektorraum definiert.
Bemerkung
BearbeitenZunächst einmal ist das oben definierte Funktional lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer p-Norm nachgewiesen werden.
Aufgabe für Studierende
BearbeitenZeigen Sie, dass die obige definierte Funktional die ersten drei Eigenschaften -Norm auf erfüllt:
- (PN1)
- (PN2)
- (PN3)
Dabei ist das Nullpolynom aus ist.
Bemerkung zu PN4
BearbeitenFür den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine p-Norm ist noch eine Vorbereitung mit dem #Lemma - Subadditivität p-Konvexität notwendig
- (PN4)
Lemma - Subadditivität p-Konvexität
BearbeitenSei ein Körper mit ( ) und , dann gilt für alle
Beweis
BearbeitenDer Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.
- Fall 1: und
- Fall 2:
Beweis - Fall 1
BearbeitenFür folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:
Beweis - Fall 2.1
BearbeitenFür formuliert man die Behauptung
durch Multiplikation mit wie folgt um:
Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion
BearbeitenWeil die Funktion mit ein streng monotone Funktion auf ist und die Dreiecksungleichung auf gilt erhält man für :
und damit gilt .
Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare
BearbeitenWeil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt,
benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung
Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare
BearbeitenWeil gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare abzuschätzen und man zeigt dann .
Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion
BearbeitenMan formt die Ungleichung zu und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion mit .
Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion
BearbeitenDurch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion:
Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion
BearbeitenMit gilt und damit . Damit ist für alle monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und und für alle gilt für alle . Damit folgt die Behauptung.
Aufgaben für Studierende
Bearbeiten- Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die p-Norm über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur Subadditivität bzgl. p-Konvexität:
- (PN4)
- Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf . Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf (d.h. für gilt auch .
- Ist die oben definierte p-Norm auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für gilt auch .
Quellennachweise
Bearbeiten- Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166.
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
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Wiki2Reveal
BearbeitenDieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
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- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum
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