Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum

Einleitung

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Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen  -normierbaren Raum und kann kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

Zielsetzung

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In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls  -Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine  -Norm erzeugt wird.

Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten

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Sei   die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in   der Form

 

Beispiel - Konvergenzradius Potenzreihe

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Für ein   hat die folgende Reihe

 

den Konvergenzradius  

Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihen

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Dabei müssen die Potenzreihen   nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe

 

hat z.B. keinen positiven Konvergenzradius, weil die Folge der Koeffizienten   keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge   des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten.

Definition des Vektorraums

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Wir definieren nun den Vektorraum   als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit  . Diese   definiert später die  -Homogenität der p-Norm:

 

Damit der Vektorraum   definiert.

Bemerkung

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Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional   lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen   eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer p-Norm nachgewiesen werden.

Aufgabe für Studierende

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Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional   die ersten drei Eigenschaften  -Norm auf   erfüllt:

  • (PN1)  
  • (PN2)  
  • (PN3)  

Dabei ist   das Nullpolynom aus   ist.

Bemerkung zu PN4

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Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine p-Norm ist noch eine Vorbereitung mit dem #Lemma - Subadditivität p-Konvexität notwendig

  • (PN4)  

Lemma - Subadditivität p-Konvexität

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Sei   ein Körper mit ( ) und  , dann gilt für alle  

 


Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.

  • Fall 1:   und
  • Fall 2:  

Beweis - Fall 1

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Für   folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:

 

Beweis - Fall 2.1

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Für   formuliert man die Behauptung

 

durch Multiplikation mit   wie folgt um:

 

Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion

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Weil die Funktion   mit   ein streng monotone Funktion auf   ist und die Dreiecksungleichung auf   gilt erhält man für  :

 

und damit gilt  .

Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

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Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt,

 

benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung

 

Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

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Weil   gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare   abzuschätzen und man zeigt dann  .

Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion

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Man formt die Ungleichung   zu   und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion   mit  .

Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion

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Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion:

 

Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion

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Mit   gilt   und damit  . Damit ist   für alle   monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und   und   für alle   gilt   für alle  . Damit folgt die Behauptung. 

Aufgaben für Studierende

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  • Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die p-Norm über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur Subadditivität bzgl. p-Konvexität:
  • (PN4)  
  • Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf  . Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf   (d.h. für   gilt auch  .
  • Ist die oben definierte p-Norm auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für   gilt auch  .

Quellennachweise

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  • Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166.


Siehe auch

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Seiteninformation

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