Kurs:Funktionentheorie
Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.
Inhalte
BearbeitenIn dem Kurs Funktionentheorie[1][2] werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem Wikibuch-Link versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. -Kapitel sind optional.
Funktionentheorie - Teil 1
BearbeitenGrundlagen
Bearbeiten- Lernvoraussetzungen aus der Analysis
- Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
- Wikiversity: Definition - Wikibuch
- Kompaktheitssatz von Heine-Borel
- geometrische Einführung
- Operationen und Regeln
- Riemannsche Zahlenkugel
- stereografische Projektion - komplexe Zahlen auf einer Kugeloberfläche.
- Komplexe Zahlen als Matrizen
- Potenzen und Wurzeln - (Foliensatz)
- Elementare Funktionen auf den komplexen Zahlen
Topologische Grundlagen
Bearbeiten- Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen (Foliensatz)
- Potenzreihe - (Foliensatz)
- Topologische Algebra - (Foliensatz)
- Topologischer Raum - Wikiversity: Definition
- Normen, Metriken, Topologie (Foliensatz)
Komplexe Differenzierbarkeit
Bearbeiten- Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie
- Partielle Ableitungen
- Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen (Foliensatz) ,
- Anwendungen CR-DG (Foliensatz) ,
- Wirtinger-Kalkül - (Foliensatz)
Kurven und Wegintegrale
Bearbeiten- Kurvenintegral im - (Foliensatz)
- Kurven - (Foliensatz)
- Wege - (Foliensatz)
- Wegintegral - (Foliensatz)
- Holomorphie - (Foliensatz)
- Spur - (Foliensatz)
- Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben - (Foliensatz) ,
- Identitätssatz - (Foliensatz)
- Satz von Liouville - (Foliensatz)
Funktionentheorie Teil 2
Bearbeiten- Zyklus (Foliensatz) ,
- Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen, (Foliensatz)
- Cauchyscher Integralsatz für Zyklen (Foliensatz)
- Cauchy Integralformel für Zyklen (Foliensatz)
- Beispielrechnung mit Laurentreihen
- Maximumprinzip (Foliensatz)
- Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue (Foliensatz)
Singularität und Residuen - Teil 3
Bearbeiten- Singularitäten, (21.05.2020) (Foliensatz)
- Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität - (Foliensatz)
- Residuen (29.05.2020) (Foliensatz)
- Entwicklung in Laurentreihen,
- isolierte Singularitäten,
- Zerlegungssatz,
- Satz von Casorati-Weierstraß,
- Residuensatz - (Foliensatz)
- Reelle Integrale mit Residuensatz,
- Null- und Polstellen zählendes Integral (Foliensatz) (09.07.2020)
- Satz von Rouché (10.07.2020) (Foliensatz)
- meromorphe Funktionen;
Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen
Bearbeiten- Riemannscher Abbildungssatz - (Foliensatz)
- analytische und harmonische Funktionen
- Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder)
- Verallgemeinerte analytische Funktionen
Übungen
BearbeitenSoftwarenutzung
BearbeitenFerner wird in Anlehnung an den Open Community Approach folgende Open Source verwendet:
- Maxima CAS - ComputerAlgebraSystem
- komplexe Zahlen in Maxima CAS
Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten
BearbeitenMit PanDocElectron kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann.
Handschriftliche Notitzen
Bearbeiten- Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in Videokonferenzen kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben
- eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder
- die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen.
- Mit der OpenSource-Software Xournal[3] können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen (Download GitHub) und
- für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton einsetzen.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- ↑ Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.
- ↑ H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf
- ↑ Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20)