Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz

Das Lemma von Schwarz ist eine Aussage über das Wachstumsverhalten holomorpher Funktionen auf der Einheitskreisscheibe.

Aussage

Es sei $\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe und $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D}$ holomorph mit $f(0)=0$. Dann gilt:

• $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$
• $|f'(0)|\leq 1$
• Gilt $|f'(0)|=1$ oder $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ für ein $z_{0}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}$, so ist $f$ eine Drehung, d. h. es existiert ein $\lambda$ mit $|\lambda |=1$, so dass $f(z)={\lambda }\cdot z$, $z\in \mathbb {D}$.

Beweis

Definiere $g\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C}$ durch

$g(z)=\left\{{\begin{array}{rr}\displaystyle {\frac {f(z)}{z}},&z\neq 0\\f'(0),&z=0\end{array}}\right.$

Dann ist $g$ stetig, also nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auch holomorph. Sei $r<1$, dann ist nach dem Maximumprinzip also für $|z|\leq r$:

$|g(z)|\leq \max _{|z|=r}|g(z)|={\frac {\max _{|z|=r}|f(z)|}{r}}\leq {\frac {1}{r}}.$

Für $r\to 1$ ergibt sich die Ungleichung $|g(z)|\leq 1$, also $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$ gilt, das zeigt die ersten beiden Aussagen.

Gilt in einem der Beiden Fälle Gleichheit, so hat also $|g|$ im inneren von $\mathbb {D}$ ein lokales Maximum, nach dem Maximumprinzip ist also $g$ konstant, und diese Konstante $\lambda$ hat den Betrag $1$, es folgt die Behauptung.

Vgl. Fischer S. 286.

siehe auch

• Automorphismen von $\mathbb {D}$ können damit charakterisiert werden.