Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip
Einleitung
BearbeitenDas Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag einer holomorphen Funktion kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.
Aussage
BearbeitenEs sei ein Gebiet, holomorph. Hat in ein
lokales Maximum, so ist konstant.
Ist beschränkt und auf stetig fortsetzbar, so nimmt sein Maximum auf an.
Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft
Lemma
BearbeitenEs sei offen, holomorph. Sei eine lokale Maximalstelle von . Dann ist auf einer Umgebung von konstant.
Beweis des Lemmas 1
BearbeitenEs sei so gewählt, dass für alle gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle , dass
Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:
Beweis des Lemmas 2
BearbeitenMan erhält die folgende Abschätzung:
Beweis des Lemmas 3
BearbeitenDaraus folgt, dass es sich bei der -Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit
.
Beweis des Lemmas 4
BearbeitenDamit erhalten wir die Konstanz von über die Eigenschaft:
- für alle ,
d.h. ist auf konstant.
Beweis des Lemmas 5
BearbeitenWenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante .
Beweis des Lemmas 6
BearbeitenWegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für
und es gilt
Beweis des Lemmas 7
BearbeitenIst und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen
- und
Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):
- und
Beweis des Lemmas 8
BearbeitenWir quadrieren die beiden Gleichungen
und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:
Beweis des Lemmas 9
BearbeitenDurch Ausklammern von und erhält man:
Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:
Beweis des Lemmas 10
Bearbeiten- Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
- folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch
Insgesamt ist also konstant auf .
Beweis
BearbeitenEs sei eine lokale Maximalstelle von in dem Gebiet . sei die Menge alle die auf abbilden (Niveaumenge).
Beweis 1: V abgeschlossen
BearbeitenDa stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in ). Da die Menge abgeschlossen ist, ist abgeschlossen in .
Beweis 2: V offen
BearbeitenNach dem Lemma lässt sich die auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.
Beweis 3: Zusammenhang
BearbeitenAlso ist wegen des Zusammenhangs von ,
d. h. ist konstant.
Beweis 4: G beschränkt
BearbeitenIst beschränkt, so ist kompakt, also nimmt die stetige Funktion auf ihr Maximum an, etwa an der Stelle . Ist , so ist nach obigem Lemma auf konstant und damit auf konstant, also nimmt sein Maximum auch auf an. Anderenfalls ist und wir sind fertig.
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
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