Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip

Einleitung

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Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag   einer holomorphen Funktion   kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.

Es sei   ein Gebiet,   holomorph. Hat   in   ein lokales Maximum, so ist   konstant.
Ist   beschränkt und   auf   stetig fortsetzbar, so nimmt   sein Maximum auf   an.

Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft

Es sei   offen,   holomorph. Sei   eine lokale Maximalstelle von  . Dann ist   auf einer Umgebung von   konstant.

Beweis des Lemmas 1

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Es sei   so gewählt, dass   für alle   gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle  , dass

 

Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:

Beweis des Lemmas 2

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Man erhält die folgende Abschätzung:

 

Beweis des Lemmas 3

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Daraus folgt, dass es sich bei der  -Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit

 

.

Beweis des Lemmas 4

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Damit erhalten wir die Konstanz von   über die Eigenschaft:

  für alle  ,

d.h.   ist auf   konstant.

Beweis des Lemmas 5

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Wenn   auf   konstant ist, dann muss auch   konstant sein mit einer Konstante  .

Beweis des Lemmas 6

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Wegen   holomorph auf   ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

 

und es gilt

 

Beweis des Lemmas 7

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Ist   und   und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

  und  

Mit CR-DGL   und   ersetzen wird die partiellen Ableitung von   durch partielle Ableitungen von   und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

  und  

Beweis des Lemmas 8

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Wir quadrieren die beiden Gleichungen

 
 

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

 

Beweis des Lemmas 9

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Durch Ausklammern von   und   erhält man:

 

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

 

Beweis des Lemmas 10

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  • Mit   folgt   da   und   reellwertig sind und damit gilt  .
  •   folgt   und   und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch  

Insgesamt ist also   konstant auf  .

Es sei   eine lokale Maximalstelle von   in dem Gebiet  .   sei die Menge alle   die auf   abbilden (Niveaumenge).

Beweis 1: V abgeschlossen

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Da   stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in  ). Da die Menge   abgeschlossen ist, ist   abgeschlossen in  .

Beweis 2: V offen

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Nach dem Lemma lässt sich die   auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.

Beweis 3: Zusammenhang

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Also ist   wegen des Zusammenhangs von  , d. h.   ist konstant.

Beweis 4: G beschränkt

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Ist   beschränkt, so ist   kompakt, also nimmt die stetige Funktion   auf   ihr Maximum an, etwa an der Stelle  . Ist  , so ist   nach obigem Lemma auf   konstant und damit auf   konstant, also nimmt   sein Maximum auch auf   an. Anderenfalls ist   und wir sind fertig.

Siehe auch

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