Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen CR-DG

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Ist $|f|$ konstant auf $G$, so ist $f$ konstant.

Beweis

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Sei ferner $|f|$ konstant.

Beweis des Lemmas 1

Wenn $|f|={\sqrt {{\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}}}$ auf $D_{r}(z_{0})$ konstant ist, dann muss auch ${\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}=c$ konstant sein mit einer Konstante $c\in \mathbb {R}$. Wenn $h:={\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}$ konstant ist, gilt für die partiellen Ableitung ${\frac {\partial h(x+iy)}{\partial x}}=0$ und ${\frac {\partial h(x+iy)}{\partial y}}=0$.

Beweis des Lemmas 2

Wegen $f$ holomorph auf $D_{r}(z_{0})$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

$u:={\mathfrak {Re}}(f),\ v:={\mathfrak {Im}}(f)\ {\mbox{ und }}\ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

und es gilt

${\frac {\partial {\big (}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}{\big )}}{\partial x}}=0{\mbox{ und }}{\frac {\partial {\big (}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}{\big )}}{\partial y}}=0$

Beweis des Lemmas 3

Ist $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$ und $u_{y}={\frac {\partial u}{\partial y}}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

$0=2uu_{x}+2vv_{x}$ und $0=2uu_{y}+2vv_{y}$

Mit CR-DGL $u_{x}=v_{y}$ und $u_{y}=-v_{x}$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von $v$ durch partielle Ableitungen von $u$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

$0=2\cdot (uu_{x}-vu_{x})$ und $0=2\cdot (uu_{y}+vu_{x})$

Beweis des Lemmas 4

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

$0=(uu_{x}-vu_{y})^{2}=u^{2}u_{x}^{2}-2uu_{x}\cdot vu_{y}+v^{2}u_{y}^{2}$

$0=(uu_{y}+vu_{x})^{2}=u^{2}u_{y}^{2}+2uu_{y}\cdot vu_{x}+v^{2}u_{x}^{2}$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

$0=u^{2}u_{x}^{2}+v^{2}u_{y}^{2}+u^{2}u_{y}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}$

Beweis des Lemmas 5

Durch Ausklammern von $u^{2}$ und $v^{2}$ erhält man:

$0=u^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+v^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=(u^{2}+v^{2})\cdot (u_{x}^{2}+u_{y}^{2})$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

$0=u^{2}+v^{2}\vee 0=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$

Beweis des Lemmas 6

• Mit $u^{2}=-v^{2}$ folgt $u=v=0$ da $u(x,y)$ und $v(x,y)$ reellwertig sind und damit gilt $f=u+iv=0$.
• $u_{x}^{2}=-u_{y}^{2}$ folgt $u_{x}^{2}=u_{y}^{2}=0$ und $u_{x}=u_{y}=0$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch $f'=0$

Insgesamt ist also $f$ konstant auf $G$.

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