Holomorphie

Einleitung

Die Holomorphie (von gr. ὅλος holos, „ganz“ und μορφή morphe, „Form“) als Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der Funktionentheorie als Teilgebiet der Mathematik mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen.

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Holomorphe Abbildung

Holomorphe Abbildungen als differenzierbar Deformation $f$ der Ebene:

Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.

Komplex differenzierare Funktionen

In dieser Lerneinheit werden Funktion $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ von einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$ in die komplexen Zahlen betrachtet ${\displaystyle }$ betrachtet, die nach unten angegebener Definition holomorph sind.

Holomorphie als Umgebungseigenschaft

Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit in einem Punkt $z_{o}\in \mathbb {C}$ ist die Holomorphie ist keine punktuelle Eigenschaft in $z_{o}\in \mathbb {C}$, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung $U_{o}\subset U$ von $z_{o}$ muss existieren, in der $f:U\to \mathbb {C}$ in jedem Punkt $z\in U_{o}$ komplex differenzierbar sein muss (und nicht nur im $z_{o}$ selbst).

Bezug zu reellen Differenzierbarkeit

Auch wenn die Definition in $\mathbb {C}$ analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Unterkapitel

• Holomorphiekriterien

Definition - komplexe Differenzierbarkeit

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, falls der Grenzwert

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

mit $h\in \mathbb {C}$ und $z_{o}+h\in U$ existiert. Man bezeichnet den Grenzwert dann als $f'(z_{0})$.

Definition (Alternative)- komplexe Differenzierbarkeit

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, falls der Grenzwert

$\lim _{z\to z_{o}}{\frac {f(z)-f(z_{o})}{z-z_{o}}}$

mit $z\in U$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f'(z_{0})$.

Definition - Holomorphie in einem Punkt

Die Funktion $f:U\to \mathbb {C}$ heißt holomorph im Punkt $z_{0}$, falls eine Umgebung von $z_{0}$ existiert, in der $f$ komplex differenzierbar ist.

Definition - Holomorphe Funktion

Ist $f:U\to \mathbb {C}$ heißt holomorph, wenn diese auf dem ganzen Definitionsbereich $U$ holomorph ist.

Definition - Ganze Funktion

Eine Funktion $f:U\to \mathbb {C}$ heißt ganze Funktion, wenn $f$ holomorph und $U=\mathbb {C}$ ist.

Beispiele für ganze Funktionen

Die folgenden Funktionen sind Beispiel für ganze Funktionen:

• Polynome $p(z)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot z^{k}$,
• Trigonometrische Funktionen $\sin(z)$ und $\cos(z)$,
• Exponentialfunktion.

Gegenbeispiele für ganze Funktionen

Die folgenden Funktionen sind keine ganzen Funktionen:

• $f_{1}(z)={\frac {1}{z}}$ ist keine ganze Funktion, da $f_{1}$ eine Singularität in 0 besitzt.
• $f_{2}(z)={\frac {z+2i}{z^{2}+4}}$ ist keine ganze Funktion, da $f_{2}$ eine Singularität bei $+2i$ und $-2i$ besitzt.

Aufgaben

Berechnen Sie den Limes des Differenzenquotienten (Differential) für die Funktionen:

• $f_{0}:\mathbb {C} \to f:\mathbb {C}$ mit $f_{0}(z)=c\in \mathbb {C}$
• $f_{1}:\mathbb {C} \to f:\mathbb {C}$ mit $f_{1}(z)=z$
• $f_{2}:\mathbb {C} \to f:\mathbb {C}$ mit $f_{2}(z)=z^{2}$ (3. binomische Formel)
• $f_{n}:\mathbb {C} \to f:\mathbb {C}$ mit $f_{n}(z)=z^{n}$ (vollständige Induktion)

Siehe auch

• Holomorphiekriterien
• Holomorphe Funktion
• Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen,
• Wirtinger-Ableitungen
• Kurs:Funktionentheorie,

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