Holomorphie/Kriterien

Die Holomorphie (von gr. ὅλος holos, „ganz“ und μορφή morphe, „Form“) als Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der Funktionentheorie als Teilgebiet der Mathematik mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen. Wir betrachten dazu allgemein eine Funktion $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ mit einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$, die nach unten angegebener Definition holomorph ist. Holomorphie ist keine punktuelle Eigenschaft in einem Punkt $z_{o}\in \mathbb {C}$, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung $U\subset \mathbb {C}$ von $z_{o}$, nämlich in jedem Punkt $z\in U$ der Umgebung $z_{o}$ von komplex differenzierbar zu sein.

Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Definitionen

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, falls der Grenzwert

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

mit $h\in \mathbb {C}$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f'(z_{0})$.

Die Funktion $f$ heißt holomorph im Punkt $z_{0}$, falls eine Umgebung von $z_{0}$ existiert, in der $f$ komplex differenzierbar ist. Ist $f$ auf ganz $U$ holomorph, so nennt man $f$ holomorph. Ist weiter $U=\mathbb {C}$, so nennt man $f$ eine ganze Funktion.

Holomorphiekriterien

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen äquivalent:

1. Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar.
2. Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar.
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar.
4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
7. f ist reell differenzierbar und es gilt
   $\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$
   wobei ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)$ definiert ist.

Aufgaben

• Seinen $a,z_{o}\in \mathbb {C}$ beliebig gewählt, es gelte $a\neq z_{o}$. Entwickeln Sie nun den Funktion $f(z):={\frac {1}{z-a}}$ für $z\in \mathbb {C} \setminus \{a\}$ in eine Potenzreihe um $z_{o}\in \mathbb {C}$ und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

$f(z)={\frac {1}{z-a}}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }-{\frac {1}{(a-z_{o})^{n+1}}}\cdot (z-z_{o})^{n}$

• Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der Konvergenzradius in der berechneten Weise von $a,z_{o}\in \mathbb {C}$ abhängt und nicht größer sein kann!
• Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion $f$ auch folgt, dass $f$ unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz $\mathbb {R}$ definierte Funktion $g(x):=x\cdot |x|$.
• Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!