Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

(Weitergeleitet von Umlaufzahl)

Definition

Bearbeiten

Es sei   ein Zyklus in  , und   ein Punkt, den   nicht trifft. Dann heißt

 

die Umlaufzahl von   um  .

Motivation

Bearbeiten

Betrachten wir zunächst den Fall, dass   nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist   in   homolog zu einem  -fach (für ein  ) durchlaufenen Kreis   um   mit  . Nun ist

 

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve   den Punkt   umläuft.

Sei der geschlossene Integrationweg   wie folgt definiert:

 
  • Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.

Additivität des Integrals

Bearbeiten

Für einen Zyklus   mit geschlossenen   ist wegen der Additivität des Integrals gerade

 

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt   umlaufen wird.

Länge des Zyklus

Bearbeiten

Für einen Zyklus   mit geschlossenen   wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

 

Siehe auch

Bearbeiten