Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl
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Definition
BearbeitenEs sei ein Zyklus in , und ein Punkt, den nicht trifft. Dann heißt
die Umlaufzahl von um .
Motivation
BearbeitenBetrachten wir zunächst den Fall, dass nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist in homolog zu einem -fach (für ein ) durchlaufenen Kreis um mit . Nun ist
zählt dieses Integral, wie oft die Kurve den Punkt umläuft.
Aufgabe
BearbeitenSei der geschlossene Integrationweg wie folgt definiert:
- Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
- Geben Sie die Umlaufzahl für an.
- Geben Sie die Umlaufzahl für an.
- Geben Sie die Umlaufzahl für an.
Additivität des Integrals
BearbeitenFür einen Zyklus mit geschlossenen ist wegen der Additivität des Integrals gerade
also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt umlaufen wird.
Länge des Zyklus
BearbeitenFür einen Zyklus mit geschlossenen wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.