Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben

Die Cauchy-Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion $f$ im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.

Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben

Aussage

Ist $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph, $z_{o}\in G$ ein Punkt in $z_{o}\in G$ und $U:=D_{r}(z_{o})\subset D$ eine beschränkte Kreisscheibe in $G$, dann gilt für alle $z\in D_{r}(z_{o})$ (also für alle $z$ mit $|z-z_{o}|<r$:

$f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\displaystyle \oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$

Dabei ist $\partial U$ die positiv orientierte Kurve $t\mapsto a+re^{\mathrm {i} t}$ für $t\in [0,2\pi ]$ über den Rand der Kreisscheibe $U$.

Beweis 1

Für festes $z\in U$ sei die Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert durch $w\mapsto {\tfrac {f(w)-f(z)}{w-z}}$ für $w\neq z$ und $w\mapsto f'(z)$ für $w=z$. $g$ ist stetig auf $U$ und holomorph auf $U\setminus \{z\}$. Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

$0=\oint _{\partial U}g=\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -f(z)\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}$.

Beweis 2

Die Funktion $h\colon U\to \mathbb {C}$, $\textstyle w\mapsto \oint _{\partial U}{\tfrac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -w}}$ ist holomorph mit der Ableitung $\textstyle h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}$, welche verschwindet, da der Integrand eine Stammfunktion (nämlich $\zeta \mapsto -{\tfrac {1}{\zeta -w}}$) hat. Also ist $h$ konstant, und wegen $h(a)=2\pi \mathrm {i}$ ist $h(z)=2\pi \mathrm {i}$.

Folgerungen CIS

Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIS) ergeben sich folgende Korrolare:

Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe

Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei $\zeta (t)=z_{o}+re^{\mathrm {i} t}\,,\ \mathrm {d} \zeta =\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\mathrm {d} t$. Test

${\begin{aligned}f|_{U}(z_{o})&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Ableitungen - Cauchy-Integralformel - CIF

Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für $|z-z_{o}|<r$ und $n\in \mathbb {N} _{0}$:

$f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .$

Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für $|z-a|<r$.

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.$

Mit der Integralformel für $f^{(n)}$ folgt sofort, dass die Koeffizienten $a_{n}$ genau die Taylor-Koeffizienten sind.

Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn $|f(z)|\leq M$ für $|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)$ gilt:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}$

Der Satz von Liouville (jede auf ganz $\mathbb {C}$ holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in $\mathbb {C}$ in Linearfaktoren) beweisen.

Beweis 1

Die Cauchy-Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:

${\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}$

Beweis 2a: Cauchy-Kern

Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta -z}}$ in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt (Cauchy-Kern)

${\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}\right)^{n}$

Beweis 2: Cauchy-Kern - Taylorreihe

${\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}-(z-z_{o})}}\mathrm {d} \zeta \\&{=}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}}}\mathrm {d} \zeta \,\\&{\overset {|{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}|<1}{=}}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{o})^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-z_{o})^{n}\end{aligned}}$

Beweis 2b: Cauchy-Kern

Da für $|z-z_{o}|<|\zeta -z_{o}|=r$ die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!}}f^{(n)}|_{U}(z_{o})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{o})^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})}{(re^{\mathrm {i} t})^{n+1}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Beweis 3: Abschätzung der Koeffizienten

Für die Koeffizienten $a_{n}\in \mathbb {C}$ gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein $M>0$ mit $|f(z)|\leq M$ für $|z-z_{o}|=r$. Dann gilt für $n\in \mathbb {N} _{0}$:

${\begin{aligned}|a_{n}|&=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {M}{r^{n}}}\end{aligned}}$

Beweis 4: Satz von Liouville

Ist $f$ auf ganz $\mathbb {C}$ holomorph und beschränkt, also $|f(z)|=|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}|\leq M$ für alle $z\in \mathbb {C}$, dann gilt wie vorher für alle $r>0$:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}$

Da $r$ beliebig war, gilt dann $a_{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Somit folgt aus der Beschränktheit von $f$:

$f(z)=a_{0}$

Das heißt jede beschränkte auf ganz $\mathbb {C}$ holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).

Beispiel

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

$\oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}$

Cauchy-Integralformel für Zyklen

Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph und $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $D$, dann gilt für alle $z\in D$, die nicht auf $\Gamma$ liegen, folgende Integralformel:

$n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$

Dabei bezeichnet $n(\Gamma ,z)$ die Windungszahl oder Umlaufzahl von $\Gamma$ um $z$.

Cauchysche Integralformel für Polyzylinder

Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum $\mathbb {C} ^{n}$ verallgemeinert. Seien $U_{1},\ldots ,U_{n}$ Kreisscheiben in $\mathbb {C}$, dann ist $\textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}$ ein Polyzylinder in $\mathbb {C} ^{n}$. Sei $f\colon U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $\xi \in U.$ Dann ist die cauchysche Integralformel durch

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}$

erklärt.

Einschränkungen mehrdimensionaler Raum

Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu

$f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)}}\,\mathrm {d} \xi$,

mit $\partial U=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}$ verkürzt werden.

Polyzylinder

Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei $\textstyle M:=\max _{\xi \in U}|f(\xi )|$ und $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ der Radius des Polyzylinders $\textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}$ ist. Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.

Vorgehen im mehrdimensionalen Fall

Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel

$D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}$

für die Ableitungen der holomorphen Funktion $f$ als auch die cauchysche Ungleichung

$\left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},$

Siehe auch

• Zyklus
• Cauchyscher Integralsatz für Zyklen
• nullhomolog

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

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