Integralsatz von Cauchy

Einleitung

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.

Für konvexe Gebiete

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein konvexes Gebiet, $\gamma$ ein in $G$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\gamma }f(z)\,dz=0

Beweis 1: Stammfunktion von f

Wir bemerken zunächst, dass $f$ auf $G$ eine Stammfunktion besitzt. Sei dazu $z_{0}\in G$ fest gewählt. Für jeden Punkt $z\in G$ bezeichne $[z_{0},z]$ die direkte Verbindungsstrecke von $z_{0}$ und $z$ .

Beweis 2: Definition der Stammfunktion

Wir definieren $F\colon G\to \mathbb {C}$ durch

F(z):=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta

.

Für $z,w\in G$ liegt wegen der Konvexität das Dreieck $D$ mit den Ecken $z_{0},z,w$ ganz in $G$ .

Beweis 3: Anwendung des Lemma von Goursat

Es folgt nach dem Lemma von Goursat über die Integration über den Rand $\partial \Delta$ eines Dreiecks $\Delta$ mit den Ecken $z_{0},z,w\in \mathbb {C}$ , dass

{\begin{array}{rl}0&=\int _{\partial \Delta }f(z)\,dz\\&=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{[z_{0},w]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=F(z)-F(w)+\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \end{array}}

Beweis 4: Anwendung des Lemma von Goursat

Damit erhält man:

{\begin{array}{rl}F(z)-F(w)&=\int _{[w,z]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\cdot (z-w)\,dt\\&=\underbrace {\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\,dt} _{A(z):=}\cdot (z-w)\end{array}}

Also ist:

A(z)={\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}

Beweis 5: Grenzwertprozess

Da $A$ eine stetige Funktion in $w$ ist, gilt mit Übergang zum Grenzwertprozess $z\to w$ :

A(w)=\lim _{z\to w}\,A(z)=\lim _{z\to w}\,{\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}=F'(w)

Beweis 5:

Dann ist $A\colon G\to \mathbb {C}$ stetig. Es folgt, dass $F$ in $w\in G$ differenzierbar mit

F'(w)=A(w)=\int _{0}^{1}f(w)\,dt=f(w).

Da $w\in G$ beliebig war, folgt $F'=f$ und $f$ hat eine Stammfunktion, was wir zeigen wollten.

Beweis 6:

Sei nun $\gamma \colon [a,b]\to G$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener Weg. Dann ist

{\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F'(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}(F\circ \gamma )'(t)\,dt\\&=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0\end{array}}

Beweis 7:

Sei nun $\gamma \colon [a,b]\to G$ ein beliebiger Integrationweg in $G$ und $\epsilon >0$ . Wir wählen, wie hier gezeigt, einen Streckenzug ${\hat {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {C}$ mit ${\hat {\gamma }}(a)=\gamma (a)$ , ${\hat {\gamma }}(b)=\gamma (b)$ und $\left|\int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz-\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|<\epsilon$ . Da Streckenzüge stückweise stetig differenzierbar sind, folgt nach dem oben gezeigten, dass $\int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz=0$ . Also ist $\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|<\epsilon$ . Da $\epsilon >0$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen

Auf beliebigen offenen Mengen muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches umrundet werden. Bei der Umrundung von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag zum Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ und $\gamma (t):=e^{it}$ auf einem Gebiet $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ . Auch wenn $f$ holomorph auf $G$ ist das Integral nicht 0, sondern $2\pi i$ (siehe nullhomologer Zyklus).