Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral

Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine rektifizierbare Kurve an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen.

Definition

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Sei   eine rektifizierbare Kurve,   eine Abbildung.   heißt über   integrierbar, wenn es eine Zahl   gibt, so dass zu jedem   ein   existiert, so dass für jede Zerlegung   des Intervalls   mit   für alle  

 

gilt.

Die Zahl   heißt Integral von   über   und wird mit   bezeichnet.

Integration über Ketten

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Ist   eine Kette in  , so heißt eine Funktion   über   integrierbar, wenn sie über jedes   integrierbar ist und wir setzen

 

Zusammenhang zur relllen Integration

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Ist   sogar stückweise differenzierbar, so kann das Kurvenintegral mithilfe des Mittelwertsatzes auf eine Integral über den Parameterbereich zurückgeführt werden, wir haben in diesem Fall

 

wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden.

Beispiel 1

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Wir betrachten die Kurve  ,  , und die Funktion  . Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir

 

Beispiel 2

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Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve  ,  , und die Funktion   für  . Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir

 

Beide Beispiele zusammen ergeben also

 

Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des Residuums.

Eigenschaften

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Unabhängigkeit von der Parametrisierung

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Es sei   ein stückweiser  -Weg,   ein orientierungserhaltender  -Diffeomorphismus. Dann ist   ein stückweiser  -Weg und es gilt

 

d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig.

Es ist

 

Linearität

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Da das Integral über in   lineare Summen definiert ist, ist es selbst linear im Integranden, d. h. es gilt

 

für rektifizierbares  ,   und integrierbare  .

Orientierungsumkehrung

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Es sei   ein rektifizierbarer Weg, der umgekehrt durchlaufene Weg   sei definiert durch  . Dann ist für integrierbare  

 

Es ist

 

Approximation durch Streckenzüge

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Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch Streckenzüge approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen.

Es sei   ein Gebiet,   ein rektifizierbarer Weg,   stetig und  . Dann gibt es einen Streckenzug   mit  ,   und  .

Sei zunächst   eine Kreisscheibe. Da   kompakt ist, gibt es ein   mit  . Auf   ist   gleichmäßig stetig, also können wir ein   wählen, so dass   für   mit   gilt. Wähle nun nach Definition des Integrals eine Unterteilung   von  , so dass   für   und

 

gilt. Definere   durch

 

Also ist   der Streckenzug, der die Punkte   durch Strecken verbindet. Insbesondere verläuft   in  . Nach Konstruktion ist weiterhin   für  . Es folgt

 

Damit folgt die Behauptung.

Ist   keine Kreisscheibe, überdeckenwir - wegen der Kompaktheit von   ist das möglich -   mit endlich vielen Kreisscheiben, die in   liegen, und wenden auf jeden Teilweg die obige Konstruktion an. Damit folgt die Behauptung auch im allgemeinen Fall.


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