Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine rektifizierbare Kurve an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen.
Sei
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
rektifizierbare Kurve ,
f
:
S
p
u
r
(
γ
)
→
C
{\displaystyle f\colon \mathrm {Spur} (\gamma )\to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
integrierbar , wenn es eine Zahl
I
∈
C
{\displaystyle I\in \mathbb {C} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
a
=
t
0
<
…
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
t
i
−
t
i
−
1
<
δ
{\displaystyle t_{i}-t_{i-1}<\delta }
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
|
I
−
∑
i
=
1
n
f
(
γ
(
t
i
)
)
⋅
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|I-\sum _{i=1}^{n}f(\gamma (t_{i}))\cdot {\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}\right|<\epsilon }
gilt.
Die Zahl
I
{\displaystyle I}
Integral von
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
γ
f
(
z
)
d
z
:=
I
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=I}
f
(
γ
(
t
i
)
)
⋅
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
{\displaystyle f(\gamma (t_{i}))\cdot {\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}}
∑
i
=
1
n
f
(
γ
(
t
i
)
)
⋅
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\gamma (t_{i}))\cdot {\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
=
t
0
<
…
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b}
|
I
−
∑
i
=
1
n
f
(
γ
(
t
i
)
)
⋅
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|I-\sum _{i=1}^{n}f(\gamma (t_{i}))\cdot {\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}\right|<\epsilon }
I
{\displaystyle I}
Ist
Γ
=
∑
i
=
1
n
n
i
⋅
γ
i
{\displaystyle \Gamma =\sum _{i=1}^{n}n_{i}\cdot \gamma _{i}}
Kette in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
:
S
p
u
r
(
Γ
)
→
C
{\displaystyle f\colon \mathrm {Spur} (\Gamma )\to \mathbb {C} }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
γ
i
{\displaystyle \gamma _{i}}
∫
Γ
f
(
z
)
d
z
:=
∑
i
=
1
n
n
i
⋅
∫
γ
i
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz:=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\cdot \int _{\gamma _{i}}f(z)\,dz}
Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt}
wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden.
Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve
γ
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }
γ
(
t
)
:=
exp
(
2
π
i
t
)
{\displaystyle \gamma (t):=\exp(2\pi it)}
f
(
z
)
=
z
n
{\displaystyle f(z)=z^{n}}
n
≠
−
1
{\displaystyle n\neq -1}
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
∫
γ
z
n
d
z
=
∫
0
1
exp
(
2
π
i
t
)
n
⋅
2
π
i
⋅
exp
(
2
π
i
t
)
d
t
=
∫
0
1
2
π
i
exp
(
2
π
i
(
n
+
1
)
t
)
d
t
=
1
n
+
1
exp
(
2
π
i
(
n
+
1
)
t
)
|
0
1
=
0
{\textstyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{\gamma }z^{n}\,dz\\&=\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(2\pi it)^{n}\cdot 2\pi i\cdot \exp(2\pi it)\,dt\\&=\displaystyle \int _{0}^{1}2\pi i\exp(2\pi i(n+1)t)\,dt\\&=\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\exp(2\pi i(n+1)t){\bigg |}_{0}^{1}\\&=0\end{array}}}
Beide Beispiele zusammen ergeben also
∫
γ
z
n
d
z
=
2
π
i
⋅
δ
n
,
−
1
{\displaystyle \int _{\gamma }z^{n}\,dz=2\pi i\cdot \delta _{n,-1}}
Dabei gilt:
δ
:
N
→
{
0
,
1
}
x
↦
f
(
x
)
=
{
1
,
n
=
−
1
0
,
n
≠
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\delta :&\mathbb {N} &\rightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &f(x)={\begin{cases}1&,&n=-1\\0&,&n\not =-1\\\end{cases}}\end{array}}}
Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des Residuums und dem Beweis zum Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz .
Bearbeiten
Es sei
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
C
1
{\displaystyle C^{1}}
ϕ
:
[
α
,
β
]
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle \phi \colon [\alpha ,\beta ]\to [a,b]}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
Diffeomorphismus . Dann ist
γ
∘
ϕ
:
[
α
,
β
]
→
C
{\displaystyle \gamma \circ \phi \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }
C
1
{\displaystyle C^{1}}
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
∫
γ
∘
ϕ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{\gamma \circ \phi }f(z)\,dz}
d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig.
Es ist
∫
γ
∘
ϕ
f
(
z
)
d
z
=
∫
α
β
f
(
γ
(
ϕ
(
s
)
)
)
(
γ
∘
ϕ
)
′
(
s
)
d
s
=
∫
α
β
f
(
γ
(
ϕ
(
s
)
)
)
γ
′
(
ϕ
(
s
)
)
ϕ
′
(
s
)
d
s
=
∫
ϕ
(
α
)
ϕ
(
β
)
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
S
u
b
s
t
i
t
u
t
i
o
n
t
=
ϕ
(
s
)
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
=
∫
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma \circ \phi }f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (\phi (s)))(\gamma \circ \phi )'(s)\,ds\\&=\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (\phi (s)))\gamma '(\phi (s))\phi '(s)\,ds\\&=\displaystyle \int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\quad {\rm {Substitution}}\ t=\phi (s)\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\int _{\gamma }f(z)\,dz\end{array}}}
Da das Integral über in
f
{\displaystyle f}
∫
γ
(
α
f
+
β
g
)
(
z
)
d
z
=
α
∫
γ
f
(
z
)
d
z
+
β
∫
γ
g
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma }(\alpha f+\beta g)(z)\,dz=\alpha \int _{\gamma }f(z)\,dz+\beta \int _{\gamma }g(z)\,dz}
für rektifizierbares
γ
{\displaystyle \gamma }
α
,
β
∈
C
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }
f
,
g
:
s
p
u
r
(
γ
)
→
C
{\displaystyle f,g\colon \mathrm {spur} (\gamma )\to \mathbb {C} }
Es sei
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
umgekehrt durchlaufene Weg
γ
−
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma ^{-}\colon [a,b]\to \mathbb {C} }
γ
−
(
s
)
=
γ
(
a
+
b
−
s
)
{\displaystyle \gamma ^{-}(s)=\gamma (a+b-s)}
f
:
s
p
u
r
(
γ
)
→
C
{\displaystyle f\colon \mathrm {spur} (\gamma )\to \mathbb {C} }
∫
γ
−
f
(
z
)
d
z
=
−
∫
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma ^{-}}f(z)\,dz=-\int _{\gamma }f(z)\,dz}
Es ist
∫
γ
−
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
−
(
s
)
)
(
γ
−
)
′
(
s
)
d
s
=
∫
a
b
f
(
γ
(
a
+
b
−
s
)
)
γ
′
(
a
+
b
−
s
)
(
−
1
)
d
s
=
∫
b
a
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
S
u
b
s
t
i
t
u
t
i
o
n
t
=
a
+
b
−
s
=
−
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
=
−
∫
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma ^{-}}f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma ^{-}(s))(\gamma ^{-})'(s)\,ds\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (a+b-s))\gamma '(a+b-s)(-1)\,ds\\&=\displaystyle \int _{b}^{a}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\quad {\rm {Substitution}}\ t=a+b-s\\&=-\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=-\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\end{array}}}
Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch Streckenzüge approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen.
Es sei
G
⊆
C
{\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
f
:
G
→
C
{\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
γ
^
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle {\hat {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {C} }
γ
(
a
)
=
γ
^
(
a
)
{\displaystyle \gamma (a)={\hat {\gamma }}(a)}
γ
(
b
)
=
γ
^
(
b
)
{\displaystyle \gamma (b)={\hat {\gamma }}(b)}
|
∫
γ
^
f
(
z
)
d
z
−
∫
γ
f
(
z
)
d
z
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|\int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz-\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|<\epsilon }
Sei zunächst
G
=
B
R
(
z
0
)
{\displaystyle G=B_{R}(z_{0})}
s
p
u
r
(
γ
)
{\displaystyle \mathrm {spur} (\gamma )}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
s
p
u
r
(
γ
)
⊆
B
¯
r
(
z
0
)
⊆
G
{\displaystyle \mathrm {spur} (\gamma )\subseteq {\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq G}
B
¯
r
(
z
0
)
{\displaystyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}
f
{\displaystyle f}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
f
(
z
)
−
f
(
w
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(z)-f(w)|<\epsilon }
z
,
w
∈
B
r
(
z
0
)
{\displaystyle z,w\in B_{r}(z_{0})}
|
z
−
w
|
<
δ
{\displaystyle |z-w|<\delta }
a
=
t
0
<
…
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
|
γ
(
s
)
−
γ
(
t
)
|
<
δ
{\displaystyle |\gamma (s)-\gamma (t)|<\delta }
s
,
t
∈
[
t
i
−
1
,
t
i
]
{\displaystyle s,t\in [t_{i-1},t_{i}]}
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
−
∑
i
=
1
n
f
(
γ
(
t
i
)
)
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz-\sum _{i=1}^{n}f{\big (}\gamma (t_{i}){\big )}{\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}\right|<\epsilon }
gilt. Definere
γ
^
{\displaystyle {\hat {\gamma }}}
γ
^
(
t
)
:=
1
t
i
−
t
i
−
1
(
γ
(
t
i
−
1
)
(
t
i
−
t
)
+
γ
(
t
i
)
(
t
−
t
i
−
1
)
)
,
t
∈
[
t
i
−
1
,
t
i
]
{\displaystyle {\hat {\gamma }}(t):={\frac {1}{t_{i}-t_{i-1}}}{\big (}\gamma (t_{i-1})(t_{i}-t)+\gamma (t_{i})(t-t_{i-1}){\big )},\qquad t\in [t_{i-1},t_{i}]}
Also ist
γ
^
{\displaystyle {\hat {\gamma }}}
γ
(
t
i
)
{\displaystyle \gamma (t_{i})}
γ
^
{\displaystyle {\hat {\gamma }}}
B
r
(
z
0
)
{\displaystyle B_{r}(z_{0})}
|
γ
^
(
t
)
−
γ
(
t
i
)
|
<
δ
{\displaystyle |{\hat {\gamma }}(t)-\gamma (t_{i})|<\delta }
t
∈
[
t
i
−
1
,
t
i
]
{\displaystyle t\in [t_{i-1},t_{i}]}
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
−
∫
γ
^
f
(
z
)
d
z
|
=
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
−
∫
a
b
f
(
γ
^
(
t
)
)
γ
^
′
(
t
)
d
t
|
≤
ϵ
+
|
∑
i
=
1
n
f
(
γ
(
t
i
)
)
(
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
)
−
∑
i
=
1
n
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
t
i
−
t
i
−
1
∫
t
i
−
1
t
i
f
(
γ
^
(
t
)
)
d
t
|
≤
ϵ
+
∑
i
=
1
n
|
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
|
1
t
i
−
t
i
−
1
∫
t
i
−
1
t
i
|
f
(
γ
^
(
t
)
)
−
f
(
γ
(
t
i
)
)
|
≤
ϵ
+
∑
i
=
1
n
|
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
|
1
t
i
−
t
i
−
1
∫
t
i
−
1
t
i
ϵ
=
ϵ
+
ϵ
L
(
γ
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz-\int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz\right|&=\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz-\int _{a}^{b}f({\hat {\gamma }}(t)){\hat {\gamma }}'(t)\,dt\right|\\&\leq \displaystyle \epsilon +\left|\sum _{i=1}^{n}f{\big (}\gamma (t_{i}){\big )}{\big (}\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1}){\big )}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})}{t_{i}-t_{i-1}}}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f({\hat {\gamma }}(t))\,dt\right|\\&\leq \displaystyle \epsilon +\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|{\frac {1}{t_{i}-t_{i-1}}}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}|f({\hat {\gamma }}(t))-f(\gamma (t_{i}))|\\&\leq \displaystyle \epsilon +\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|{\frac {1}{t_{i}-t_{i-1}}}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}\epsilon \\&=\epsilon +\epsilon L(\gamma )\end{array}}}
Damit folgt die Behauptung.
Ist
G
{\displaystyle G}
s
p
u
r
(
γ
)
{\displaystyle \mathrm {spur} (\gamma )}
s
p
u
r
(
γ
)
{\displaystyle \mathrm {spur} (\gamma )}
G
{\displaystyle G}
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e085dcf244196598d1b9b015bdbfbe624800679)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c94e0dd3b97883a3c7cc6686c520b2d6684302)
![{\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef00a1495674d883bafba5cd76a97e4cac8ae036)
![{\displaystyle \phi \colon [\alpha ,\beta ]\to [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05eaa58f8d5528a3a400860c81eb7a69ebfb871d)
![{\displaystyle \gamma \circ \phi \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1019aaf0d883170e1f86a9b8fbe688431eccea72)
![{\displaystyle \gamma ^{-}\colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d40a3f26cda7bb1d2a1e561209e2e977e31d09)
![{\displaystyle {\hat {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477f60a2cdbed9ad66b384d0f9053a15a1f39860)
![{\displaystyle s,t\in [t_{i-1},t_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202e560a52753b9439c407623f233b232bfff553)
![{\displaystyle {\hat {\gamma }}(t):={\frac {1}{t_{i}-t_{i-1}}}{\big (}\gamma (t_{i-1})(t_{i}-t)+\gamma (t_{i})(t-t_{i-1}){\big )},\qquad t\in [t_{i-1},t_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54189ff5aad0c40592c2b166fe3197acb24a90ec)
![{\displaystyle t\in [t_{i-1},t_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a8fc21efa7b0778aa5a5b1f2f2ffd282a55384)
