Kurs:Funktionentheorie/Kette

Eine Kette ist eine formale Linearkombination von Kurven, wir haben

Definition - Kette

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$, sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ Kurven in $G$ und $n_{i}\in \mathbb {Z}$. Dann heißt die formale Linearkombination $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}$ eine Kette in $\mathbb {C}$. Die Menge aller Ketten in $G$, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit $C(G)$ bezeichnet.

Definition - Spur eine Kette

Die Spur einer Kette $\Gamma$ ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven $\gamma _{i}$, also

$\mathrm {Spur} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {Spur} (\gamma _{i})$

Zykel

Eine Kette $\Gamma =\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}\in C(G)$ mit $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ heißt Zykel, wenn jeder Punkt von $G$ gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in $G$ auftritt, d. h. wenn

$\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(a_{i})=z\}|=\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(b_{i})=z\}|$

für jedes $z\in G$ gilt.

Innen- und Außengebiet

Sei $\Gamma$ ein Zykel in $\mathbb {C}$, mit Hilfe der Umlaufzahl kann man eine durch $\Gamma$ bestimmte Zerlegung von $\mathbb {C}$ in drei Teile betrachten, nämlich:

• Die Bildmenge der $\mathrm {Spur} (\Gamma )$
• Das Außengebiet, diejenigen Punkte, die nicht von $\Gamma$ umlaufen werden, also $A_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {Spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)=0\}$
• Das Innengebiet sind diejenigen Punkte, die von $\Gamma$ umlaufen werden, also $I_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {Spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)\neq 0\}$

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.