Formale Linearkombination

In vielen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere in der Algebra und in ihren Anwendungen, z. B. in der Funktionentheorie und in der Topologie, ist es häufig hilfreich, „Linearkombinationen“ von Elementen einer Menge zu betrachten, die keine Modulstruktur trägt. In diesem Artikel wollen wir kurz erläutern, wie man diese Linearkombinationen mathematisch exakt als echte Linearkombinationen darstellen kann.

Im folgenden sei $M$ eine Menge und $R$ ein Ring (in vielen klassischen Fällen ist $R$ ein Körper oder der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen).

klassische Definition

Eine formale Linearkombination von Elementen aus $M$ über $R$ ist eine Summe der Form $\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}$, dabei sind $r_{i}\in R$ und $m_{i}\in M$, die $m_{i}$ sind paarweise verschieden. Zwei Summen dieser Form werden als gleich betrachtet, wenn dieselben Elemente von $M$ in ihnen mit denselben Vorfaktoren auftreten (dabei ist der Vorfaktor $0$ gleichbedeutend damit, dass das Element nicht auftritt). Die Menge dieser Summen bildet mit den Operationen

• $\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}+\sum _{i=1}^{n}s_{i}m_{i}:=\sum _{i=1}^{n}(r_{i}+s_{i})m_{i}$ (je zwei solche Summen können so geschrieben werden, dass sie dieselben Elemente von $M$ enthalten, zur Not muss man Terme der Form $0\cdot m$ mit $m\in M$ ergänzen), mit $r_{i},s_{i}\in R$, $m_{i}\in M$, $n\in \mathbb {N}$.
• $r\cdot \sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}=\sum _{i=1}^{n}(rr_{i})m_{i}$ mit $r_{i},r\in R$, $m_{i}\in M$, $n\in \mathbb {N}$.

in natürlicher Weise einen $R$-Modul (im Falle eines Körpers ist das ein Vektorraum, im Falle der ganzen Zahlen eine abelsche Gruppe). Dieser $R$-Modul heißt auch der freie $R$-Modul über $M$.

Die Definition ist insofern nicht ganz befriedigend, dass die Elemente des freien $R$-Moduls undefinierte Summen $\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}$ sind, man bedenke, dass wir die Operationen erst definieren können, wenn wir die Elemente zur Verfügung haben, andererseits brauchen wir die Operationen, um die Elemente hinschreiben zu können. Man kann sich natürlich auf den Standpunkt stellen, die Summen seien nur „formal“, aber das ist mathematisch gesehen natürlich nicht zufriedenstellend, da nicht klar ist, was eine formale Summe eigentlich ist. Die Grundidee der exakten Definition ist es, den formalen Summen eine exakte Bedeutung zu geben.

Vorüberlegungen zur exakten Definition

Wie können wir der Summe $s=\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}$ eine mathematisch exaktes Objekt mit der gleichen Bedeutung zuweisen? Die Idee ist, sich zu überlegen, was wir an den Summen eigentlich brauchen. Das sind doch die Paare $(m_{i},r_{i})$. Erinnern wir uns noch, dass die $m_{i}$ paarweise verschieden waren, sehen wir, dass wir es mit einer Abbildung $m_{i}\mapsto r_{i}$ zu tun haben. Wenn wir diese Abbildung auf ganz $R$ durch $0$ fortsetzen, erhalten wir eine Abbildung $\phi _{s}\colon M\to R$ mit der Eigenschaft, dass ihr sog. Träger $\mathrm {supp} (\phi _{s}):=\phi _{s}^{-1}[R\setminus \{0\}]$, also die Menge der Elemente, die nicht auf Null abgebildet werden, endlich ist. Ist umgekehrt $\phi \colon M\to R$ eine Abbildung mit endlichem Träger $\mathrm {supp} (\phi )=\{m_{1},\ldots ,m_{n}\}$, so können wir ihr die formale Summe $s_{\phi }:=\sum _{i=1}^{n}\phi (m_{i})m_{i}$ zuordnen. Man sieht, dass beide Konstruktionen zueinander invers sind, also formale Summen genau den Abbildungen mit endlichem Träger entsprechen. Wir können also definieren:

Definition

Eine formale Linearkombination von Elementen aus $M$ über $R$ ist eine Abbildung $\phi \colon M\to R$ mit

$|\mathrm {supp} (\phi )|<\infty$

Die Menge aller dieser Abbildungen wird mit $R^{(M)}$ bezeichnet und ist ein $R$-Untermodul von $R^{M}$, er heißt der freie $R$-Modul über $M$.

Notation

Sei $\phi \in R^{(M)}$. Da sich mit den Summen bequemer rechnen lässt, als mit den Abbildungen (in der Summe ist die gesamte Information kompakt codiert), wollen wir $\phi$ als Summe schreiben. Dazu betrachten wir zunächst für $m\in M$ die Abbildung $\phi _{m}\colon M\to R$, die genau $m$ auf $1$ und $M\setminus \{m\}$ auf $0$ abbildet. Ist dann $\{m_{1},\ldots ,m_{n}\}$ eine Aufzählung des Trägers von $\phi$ mit paarweise verschiedenen $m_{i}$, so gilt $\phi =\sum _{i=1}^{n}\phi (m_{i})\phi _{m_{i}}$ (man beachte dass das eine echte Summe im $R$-Modul $R^{(M)}$ (punktweise Operationen) ist). Die Notation wird häufig nun noch so vereinfacht, dass man die Elemente von $m\in M$ mit der Abbildung $\phi _{m}$ identifiziert, man nennt $\phi _{m}$ also einfach $m$, dann ist $\phi =\sum _{i=1}^{n}\phi (m_{i})m_{i}$ und wir können mit den bequemen Summen rechnen, haben aber gleichzeitig die Gewissheit, dass alles auf festem mathematischem Boden steht.