Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz

Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.

Aussage

Es sei $f$ eine auf einem Gebiet $G$ mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten $S\subseteq G$ holomorphe Funktion und $\Gamma$ ein in $G$ nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von $S$ trifft. Dann gilt

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\cdot \sum _{z\in S}n(\Gamma ,z)\cdot \mathrm {res} _{z}(f).

Beweis

Die Summe in der Aussage des Residuensatzes ist endlich, da $\Gamma$ nur endlich viele Punkte der diskreten Menge $S$ aller Singularitäten umlaufen kann.

Schritt 1 - Reduktion auf endliche Anzahl von Summanden

Seien nun $z_{1},\ldots ,z_{k}$ die Punkte in $S$ , für die $n(\Gamma ,z_{i})\neq 0$ gilt. Die Singularitäten aus $S$ , die nicht umlaufen werden, werden mit $T:=\{z\in S:n(\Gamma ,z)=0\}$ .

Schritt 2 - Nullhomologer Zyklus

$\Gamma$ ist nach Voraussetzung nullhomolog in $G$ . Nach der Definition von $T$ ist $\Gamma$ auch nullhomolog in $G\setminus T$ .

Schritt 3 - Hauptteile der Laurent-Entwicklung

Für die Singularitäten $z_{i}\in S$ mit $\mu (\Gamma ,z_{i})\not =0$ und $1\leq i\leq k$ sei

h_{i}(z)=\sum _{j=-1}^{-\infty }a_{ij}(z-z_{i})^{j}

der Hauptteil der Laurententwicklung von $f$ um $z_{i}$ . Es ist $h_{i}$ eine auf $\mathbb {C} \setminus \{z_{i}\}$ holomorphe Funktion.

Schritt 4 - Subtraktion der Hauptteile

Wenn man alle Hauptteile $h_{i}$ bzgl. $z_{i}$ von der gegebenen Funktion $f$ subtrahiert, erhält man mit

g:=f-\sum _{i=1}^{k}h_{i}

eine Funktion auf $G\setminus T$ , die jetzt nur noch hebbare Singularitäten besitzt.

Schritt 5 - Holomorphe Fortsetzung auf G

Wenn die Singularitäten $z_{i}$ hebbar auf $G\setminus T$ sind, lässt sich $g$ holomorph in allen $z_{1},\ldots ,z_{k}\in G\setminus T$ fortsetzen.

Schritt 6 - Anwendung Cauchyintegralsatz

Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy für das Integral über $\Gamma$

\int _{\Gamma }g(z)\,dz=0

also ist, nach Definition von $g$ ,

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\Gamma }g(z)\,dz+\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz.\end{array}}

Schritt 7 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile

Die Berechnung des Integrals über $f$ beschränkt sich damit auf die Berechnung der Integrale über die Hauptteile $h_{i}$ mit $1\leq i\leq k$ . Unter Verwendung der Lineariät des Integrals erhält man zunächst:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{-i}a_{ij}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}\end{array}}

Die Funktionsterme $\displaystyle \int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}$ besitzen für $j\leq -2$ eine Stammfunktion und es gilt $\displaystyle \int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}=0$

Schritt 8 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile

Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung des Integrals über die Hauptteile mit der Definition der Umlaufzahl.

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{-i}a_{ij}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}\\&=&\displaystyle a_{i,-1}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{-1}\,dz\\&=&\displaystyle a_{i,-1}\cdot 2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\\&=&\displaystyle 2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\cdot \mathrm {res} _{z_{i}}f\end{array}}

nach .

Schritt 9 - Berechnung der Integrale über die Residuen

Insgesamt folgt die Behauptung mit

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle 2\pi i\sum _{i=1}^{k}n(\Gamma ,z_{i})\mathrm {res} _{z_{i}}f\end{array}}

Fragen zum Residuensatz

Sei $f:G\rightarrow {\widehat {\mathbb {C} }}$ eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten in $G$ ), Warum umrundet der Zyklus $\Gamma$ nur endlich viele Pole?

Anwendungen

Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion

Siehe auch