Meromorphe Funktion

Eine meromorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge von $\mathbb {C}$ ist in der Funktionentheorie eine Funktion, die holomorph bis auf Pole ist. Diese Pole dürfen nur isoliert auftreten. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf einem Teilgebiert $U$ der komplexen Ebene hat gegenüber der Menge der holomorphen Funktionen den Vorteil, dass sie nicht nur einen Ring, sondern einen Körper bildet, man kann sogar zeigen, dass sie der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen ist.

Definition

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen. Eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$ ist eine Funktion mit einer diskrete Singularitätenmenge $S\subseteq U$ mit

1. $f\colon U\setminus S\to \mathbb {C}$ ist holomorph
2. $f$ hat an jeder Stelle $s\in S$ einen Pol

Wir sagen dann, $f$ ist meromorph auf $U$ und schreiben $f\in {\mathcal {M}}(U)$.

Man beachte, dass eine meromorphe Funktion auf $U$ keine auf ganz $U$ definierte Funktion ist, sondern nur auf dem Komplement einer diskreten Teilmenge.

Bemerkung

Bei der Definition von Singularitäten wurden die drei Typen von Singulariäten

• hebbare Singularität,
• Pol (der Ordnung $m$)
• wesentliche Singularität

genannt. Meromorphe Funktionen dürfen dabei in der Singularitätmengen $S$ nur Pole, aber keine wesentliche Singularitäten besitzen.

Eigenschaften

1. Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Funktionen $f,g\in {\mathcal {M}}(U)$ sind wieder meromorph, also ist ${\mathcal {M}}(U)$ eine Algebra über dem Ring der holomorphen Funktionen auf $U$.
   Denn sei $S$ die Polstellenmenge von $f$ und $T$ die Polstellenmenge von $g$. Dann ist $S\cup T$ eine diskrete Teilmenge von $U$ und $f+g,f-g,fg$ sind auf $U\setminus (S\cup T)$ holomorph und haben auf $S\cup T$ hebbare Singularitäten oder Pole.
2. Ist $U$ zusammenhängend, $f,g\in {\mathcal {M}}(U)$ und $g\neq 0$, so ist $f/g$ meromorph auf $U$. In diesem Fall ist ${\mathcal {M}}(U)$ also ein Körper.
   Denn sei $S$ die Polstellenmenge von $f$, $T$ die Polstellenmenge von $g$. Es ist $U\setminus T$ ein Gebiet, also ist die Nullstellenmenge $N$ von $g$ nach dem Identitätssatz eine diskrete Teilmenge von $U$. Nun ist $f/g\colon U\setminus (S\cup T\cup N)\to \mathbb {C}$ holomorph und auf $S\cup T\cup N$ hat $f/g$ hebbare Singularitäten oder Pole.
3. Lokal ist jede meromorphe Funktion Quotient zweier holomorpher Funktionen, d. h. ist $f\in {\mathcal {M}}(U)$, $z_{0}\in U$, so gibt es eine Umgebung $V$ von $z_{0}$ und holomorphe Funktionen $p,q\colon V\to \mathbb {C}$, so dass $f=p/q$ gilt. Es ist ein tiefliegendes Ergebnis, dass für Gebiete $U$ eine solche Darstellung sogar stets global möglich ist, d. h. in diesem Fall ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen auf $U$.

Äquivalente Beschreibung als holomorphe Funktionen mit Werten in ${\hat {\mathbb {C} }}$

Eine weitere Möglichkeit, meromorphe Funktionen auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$ zu beschreiben, ist sie als holomorphe Funktionen mit Werten in der Riemannschen Zahlenkugel zu definieren.

Definition

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$, eine Funktion $f\colon U\to {\hat {\mathbb {C} }}$ heißt holomorph an einer Stelle $z_{0}\in U$ mit $f(z_{0})\neq \infty$, wenn es eine Umgebung $V$ von $z_{0}$ gibt, so dass $f(V)\subseteq \mathbb {C}$ und $f|_{V}\colon V\to \mathbb {C}$ in $z_{0}$ holomorph ist. $f$ heißt holomorph an einer Stelle $z_{0}$ mit $f(z_{0})=\infty$, wenn ${\frac {1}{f}}$ an der Stelle $z_{0}$ holomorph im vorigen Sinne ist.

Pole und Unendlichkeitsstellen

Sei $f\colon U\to {\hat {\mathbb {C} }}$ holomorph und $f(z_{0})=\infty$. Ist $f$ auf keiner Umgebung von $z_{0}$ konstant, so gibt es nach dem Identitätssatz eine Umgebung $V$ von $z_{0}$, so dass $f|_{V\setminus \{z_{0}\}}\colon V\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$. Da $f$ in $z_{0}$ holomorph ist, ist ${\frac {1}{f}}$ in $z_{0}$ holomorph, besitzt also dort eine Potenzreihenentwicklung, etwa

${\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$

sei $m:=\min\{k:a_{k}\neq 0\}$, dann ist

${\frac {1}{f(z)}}=(z-z_{0})^{m}\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+m}(z-z_{0})^{k}} _{g(z):=}$

Dann ist $g$ holomorph und $g(z_{0})\neq 0$, also ist $1/g$ in $z_{0}$ holomorph. Es folgt

$f(z)(z-z_{0})^{m}={\frac {1}{g(z)}},\qquad z\in V\setminus \{z_{0}\}$

also hat $f$ in $z_{0}$ einen Pol der Ordnung $m$.

Charakterisierung meromorpher Funktionen

Da Pole gerade als Unendlichekeitsstellen beschrieben werden können, erhalten wir: Eine meromorphe Funktion $f$ auf $U\subseteq \mathbb {C}$ ist eine holomorphe Funktion $f\colon U\to {\hat {\mathbb {C} }}$, deren Unendlichkeitsstellen sich nicht häufen (äquivalent ist, dass $f$ auf keiner Komponente von $U$ konstant gleich $\infty$ ist.

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie