Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Aussage Bearbeiten

Sei   ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen   sind äquivalent:

  • (1)   (d.h.   für alle  )
  • (2) Es gibt ein   mit   für alle  .
  • (3) Die Menge   hat einen Häufungspunkt in  .

Beweis Bearbeiten

Durch Betrachtung von   dürfen wir o. E. annehmen, dass  . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

  • (N1)   (d.h.   für alle  )
  • (N2) Es gibt ein   mit   für alle  .
  • (N3) Die Nullstellenmenge   hat einen Häufungspunkt in  

Beweistyp Bearbeiten

Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

 

Beweis (N1) nach (N2) Bearbeiten

(N1)   (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion   die n-ten Ableitung betrachtet.

Beweis (N2) nach (N3) Bearbeiten

Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung   in   mit  . Es ist   für alle  . Also ist  , es folgt (N3).

Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis Bearbeiten

Zu dem Beweisschritt (N3)   (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und   nicht die Nullfunktion ist.

Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt Bearbeiten

Gelte nun (N3), d. h. die Menge   der Nullstellen von   habe einen Häufungspunkt  . Es gebe also eine Folge   mit   und   sowie  , für alle  . Sei nun   die Potenzreihenentwicklung von   um  .

Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung Bearbeiten

Angenommen, es gäbe ein   mit  , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von   auch ein kleinstes solches  . Es wäre

 

Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung Bearbeiten

Für jedes   wäre also

 

Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess Bearbeiten

Wegen   und   erhält man:

 

Da   für alle   für  . Dies steht im Widerspruch zu  . Also ist   für alle   und damit   für alle  , d. h. (N2) gilt.

Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen Bearbeiten

Gilt (N2), setze  .   ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in  , da die   stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier  ) wieder abgeschlossen sind.

Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen Bearbeiten

  ist aber zugleich auch offen in  , da in jedem   die Potenzreihenentwicklung von   um   verschwindet, also ist   lokal um   gleich  . Wegen   ist   nichtleer und damit   wegen des Zusammenhangs von  .

Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3) Bearbeiten

Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige   und  , wenn man (N1)-(N3) auf   anwendet.

Siehe auch Bearbeiten

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