Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz
Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.
Aussage Bearbeiten
Sei ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen sind äquivalent:
- (1) (d.h. für alle )
- (2) Es gibt ein mit für alle .
- (3) Die Menge hat einen Häufungspunkt in .
Beweis Bearbeiten
Durch Betrachtung von dürfen wir o. E. annehmen, dass . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:
- (N1) (d.h. für alle )
- (N2) Es gibt ein mit für alle .
- (N3) Die Nullstellenmenge hat einen Häufungspunkt in
Beweistyp Bearbeiten
Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss
Beweis (N1) nach (N2) Bearbeiten
(N1) (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion die n-ten Ableitung betrachtet.
Beweis (N2) nach (N3) Bearbeiten
Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung in mit . Es ist für alle . Also ist , es folgt (N3).
Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis Bearbeiten
Zu dem Beweisschritt (N3) (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und nicht die Nullfunktion ist.
Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt Bearbeiten
Gelte nun (N3), d. h. die Menge der Nullstellen von habe einen Häufungspunkt . Es gebe also eine Folge mit und sowie , für alle . Sei nun die Potenzreihenentwicklung von um .
Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung Bearbeiten
Angenommen, es gäbe ein mit , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von auch ein kleinstes solches . Es wäre
Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung Bearbeiten
Für jedes wäre also
Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess Bearbeiten
Wegen und erhält man:
Da für alle für . Dies steht im Widerspruch zu . Also ist für alle und damit für alle , d. h. (N2) gilt.
Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen Bearbeiten
Gilt (N2), setze . ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in , da die stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier ) wieder abgeschlossen sind.
Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen Bearbeiten
ist aber zugleich auch offen in , da in jedem die Potenzreihenentwicklung von um verschwindet, also ist lokal um gleich . Wegen ist nichtleer und damit wegen des Zusammenhangs von .
Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3) Bearbeiten
Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige und , wenn man (N1)-(N3) auf anwendet.
Siehe auch Bearbeiten
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