Satz von Casorati-Weierstraß

Der Satz von Casorati-Weierstraß ist eine Aussage über das Verhalten holomorpher Funktionen in der Umgebung wesentlicher Singularitäten. Er besagt im wesentlichen, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl durch die Werte der Funktion beliebig genau approximiert werden kann. Er ist eine deutlich einfacher zu beweisende Abschwächung des großen Satzes von Picard, der besagt, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularitäten jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine Ausnahme unendlich oft als Wert auftritt.

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen und $z_{0}\in G$ . Es sei $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Genau dann hat $f$ in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität, wenn für jede Umgebung $U\subseteq G$ von $z_{0}$ : ${\overline {f(U\setminus \{z_{0}\})}}=\mathbb {C}$ gilt.

Beweis

Sei zunächst $z_{0}$ eine wesentliche Singularität von $f$ , angenommen, es gäbe ein $r>0$ , so dass $f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})$ nicht dicht in $\mathbb {C}$ liegt. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ und ein $w_{0}\in \mathbb {C}$ , so dass $B_{\epsilon }(w_{0})$ und $f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})$ disjunkt sind. Betrachte auf $B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}$ die Funktion $g(z):={\frac {1}{f(z)-w_{0}}}$ . Dabei soll $r$ so gewählt werden, dass $z_{o}$ die einzige $w_{0}$ -Stelle in $f(B_{r}(z_{0})$ ist. Dies ist möglich nach dem Identitätssatz für nicht konstante holomorphe Funktionen. $f$ ist nicht konstant, da es ein wesentliche Singularität besitzt. Sie ist holomorph und durch ${\frac {1}{\epsilon }}$ beschränkt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist also $g$ auf ganz $B_{r}(z_{0})$ holomorph fortsetzbar. Wegen $g\neq 0$ gibt es ein $m\geq 0$ und eine holomorphe Funktion $g_{0}\colon B_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ mit $g_{0}(z_{0})\neq 0$ , so dass

g(z)=(z-z_{0})^{m}g_{0}(z),\qquad |z-z_{0}|<r.

Es folgt, dass

f(z)=w_{0}+{\frac {1}{(z-z_{0})^{m}g_{0}(z)}}

und damit

f(z)(z-z_{0})^{m}=w_{0}(z-z_{0})^{m}+{\frac {1}{g_{0}(z)}}

Da $g_{0}(z_{0})\neq 0$ , ist ${\frac {1}{g}}$ auf einer Umgebung von $z_{0}$ holomorph. Daher ist $f\cdot (\cdot -z_{0})^{m}$ auf einer Umgebung von $z_{0}$ holomorph und damit hat $f$ in $z_{0}$ höchstens einen Pol $m$ -ter Ordnung. Widerspruch.

Umgekehrt sei $z_{0}$ eine hebbare Singularität oder ein Pol von $f$ . Ist $z_{0}$ eine hebbare Singularität, so gibt es eine Umgebung $U$ von $z_{0}$ , auf der $f$ beschränkt ist, gelte etwa $|f(z)|\leq M$ für $z\in U\setminus \{z_{0}\}$ . Dann ist

{\overline {f{\bigl (}U\setminus \{z_{0}\})}}\subseteq {\bar {B}}_{M}(0)\neq \mathbb {C} .

Ist $z_{0}$ ein Pol der Ordnung $m$ für $f$ , so gibt es eine Umgebung $U$ von $z_{0}$ und eine holomorphe Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ mit $g(z_{0})\neq 0$ und $f(z)=g(z)(z-z_{0})^{-m}$ . Wähle eine Umgebung $\epsilon >0$ , so dass $|g(z)|\geq {\frac {1}{2}}|g(z_{0})|$ für $|z-z_{0}|<\epsilon$ . Dann ist also

|f(z)|=|g(z)||z-z_{0}|^{-m}\geq {\frac {1}{2}}|g(z_{0})|\cdot \epsilon ^{-m},\quad 0<|z-z_{0}|<\epsilon

Also ist $0\not \in {\overline {f(B_{\epsilon }(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}}$ und das zeigt die Behauptung.

Siehe auch