Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität

Definition

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $z_{0}\in G$. Ist $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, so heißt $z_{0}$ eine isolierte Singularität von $f$.

Klassifikation

Je nach dem Verhalten von $f$ in der Umgebung von $z_{0}$ unterscheidet man drei verschiedene Arten isolierter Singulariäten von $f$.

hebbare Singularitäten

Ist $f$ auf das ganze Gebiet $G$ holomorph fortsetzbar, so sagt man, $z_{0}$ sei eine hebbare Singularität. Das ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz dann der Fall, wenn $f$ in einer Umgebung von $z_{0}$ beschränkt ist.

Pole

Ist $z_{0}$ keine hebbare Singularität, aber gibt es ein $n\geq 1$, so dass $(\cdot -z_{0})^{n}\cdot f$ eine hebbare Singularität in $z_{0}$ hat, so sagt man, $f$ habe einen Pol in $z_{0}$. Das kleinste solche $n$ heißt die Ordnung des Pols.

Wesentliche Singularitäten

Ist $z_{0}$ weder hebbar noch ein Pol, so sagt man, $z_{0}$ sei eine wesentliche Singularität von $f$.

Beispiele

• Wegen $\lim _{z\to 0}{\frac {\sin z}{z}}=1$ hat die Funktion $f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}$ eine hebbare Singularität in $z_{0}=0$.
• Die Funktion $f_{2}(z)={\frac {1}{\sin z}}$ hat in $z_{0}=0$ keine hebbare Singularität, da $f_{2}$ in $0$ unbeschränkt ist, aber $f_{2}$ hat in $0$ einen Pol erster Ordnung, da $f_{2}(z)\cdot (z-0)^{1}=f_{2}(z)z={\frac {z}{\sin z}}$ wegen $\lim _{z\to 0}{\frac {z}{\sin z}}=1$ in 0 eine hebbare Singularität hat.
• Die Funktion $f_{3}(z)=\sin {\frac {1}{z}}$ hat in $z_{0}=0$ eine wesentliche Singularität, da für jedes $n\geq 1$ die Funktion $f_{3}(z)z^{n}=z^{n}\sin {\frac {1}{z}}$ in jeder Umgebung der Null unbeschränkt ist. Um das einzusehen, betrachte $\sin z^{-1}={\frac {e^{iz^{-1}}-e^{-iz^{-1}}}{2i}}$. Für $z=it$ mit $t\in \mathbb {R}$ ist also $f_{3}(it)(it)^{n}=(it)^{n}{\frac {e^{t^{-1}}-e^{-t^{-1}}}{2i}}$, was für $t\to 0^{+}$ divergiert.

Laurententwicklungen

Die Art der isolierten Singularität lässt sich auch an der Laurententwicklung von $f$ um $z_{0}$ ablesen. Sei nämlich

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

die Laurent-Reihe von $f$ um $z_{0}$. Wir setzen

$o_{z}(f)=\sup\{n\in \mathbb {Z} |\forall k<n:a_{k}=0\}$.

Dann hat $f$ im Falle

• $o_{z}(f)\geq 0$, d.h. alle negativen Koeffizienten verschwinden, der Hauptteil der Reihe ist Null, eine hebbare Singularität
• $-\infty <o_{z}(f)<0$, d.h. nur endlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, einen Pol der Ordnung $-o_{z}(f)$
• $o_{z}(f)=-\infty$, d.h. unendlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, eine wesentliche Singularität.

Beispiele

Wir betrachten unsere drei Beispiele von oben noch einmal:

• Es ist $f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n+1)!}}$, also $o_{0}(f_{1})=0$, eine hebbare Singularität.
• Es ist $f_{2}(z)={\frac {1}{\sin z}}={\frac {1}{z}}+{\frac {z}{6}}+{\frac {7}{360}}z^{3}+\ldots$

also $o_{0}(f_{2})=-1$, ein Pol erster Ordnung.

• Es ist $f_{3}(z)=\sin z^{-1}=\sum _{n=-\infty }^{0}{\frac {(-1)^{n}}{(-2n+1)!}}z^{2n-1}$, also $o_{0}(f_{3})=-\infty$, eine wesentliche Singularität.