Kurs:Funktionentheorie/Residuum

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Definition

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Es sei   ein Gebiet,   und eine Abbildung   bis auf isolierte Singularität   holomorph, d.h.   ist holomorph. Ist   eine isolierte Singularität von   mit  , so definiert man das Residuum als:

 .

Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung

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Stellt man   um eine isolierte Singularität   als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit   als Laurent-Entwicklung von   um   gilt:

 .

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe   nur die eine Singularität   enthält, d.h.  .

Damit kann man das Residuum   aus der Laurentwicklung von   um   an -1-ten Koeffizienten ablesen.

Namensgebung

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Das Residuum (von lat. residuere - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg   mit   über den Kreisrand um   gilt:

 

gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt.

Berechnung für Pole

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Ist   ein Pol der Ordnung   von  , so hat die Laurent-Entwicklung von   um   die Form

 

mit  .

Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation

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Multiplizieren wir mit  , so erhalten wir

 

Das Residuum   ist nun als Koeffizienten von   in der Potenzreihe der Funktion   zu finden.

Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation

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Durch  -faches Differenzieren verschwinden die ersten   Summanden der Reihe vom Exponent   bis zum Exponenten  . Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor   und man erhält:

 


Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor  

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Durch Indexverschiebung erhält man:

 

Durch einen Grenzwertprozess   verschwinden alle Summanden mit   und man erhält:

 

Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert   berechnen:

 

Aufgaben für Studierende

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  • Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index   mit   bei der Integration das Integral
  ergeben.
  • Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen?
 
  • Gegeben sei die Funktion   mit  . Berechnen Sie das Residuum   mit   !

Siehe auch

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