Kurs:Funktionentheorie/Residuum
Definition
BearbeitenEs sei ein Gebiet, und eine Abbildung bis auf isolierte Singularität holomorph, d.h. ist holomorph. Ist eine isolierte Singularität von mit , so definiert man das Residuum als:
- .
Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung
BearbeitenStellt man um eine isolierte Singularität als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit als Laurent-Entwicklung von um gilt:
- .
Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe nur die eine Singularität enthält, d.h. .
Damit kann man das Residuum aus der Laurentwicklung von um an -1-ten Koeffizienten ablesen.
Namensgebung
BearbeitenDas Residuum (von lat. residuere - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg mit über den Kreisrand um gilt:
gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt.
Berechnung für Pole
BearbeitenIst ein Pol der Ordnung von , so hat die Laurent-Entwicklung von um die Form
mit .
Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation
BearbeitenMultiplizieren wir mit , so erhalten wir
Das Residuum ist nun als Koeffizienten von in der Potenzreihe der Funktion zu finden.
Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation
BearbeitenDurch -faches Differenzieren verschwinden die ersten Summanden der Reihe vom Exponent bis zum Exponenten . Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor und man erhält:
Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor
BearbeitenDurch Indexverschiebung erhält man:
Durch einen Grenzwertprozess verschwinden alle Summanden mit und man erhält:
Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert berechnen:
Aufgaben für Studierende
Bearbeiten- Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index mit bei der Integration das Integral
- ergeben.
- Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen?
- Gegeben sei die Funktion mit . Berechnen Sie das Residuum mit !
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
BearbeitenDieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.