Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral
Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion mit ihrer Vielfachheit. Genauer:
Nullstelle der Ordnung n Bearbeiten
Sei offen, eine holomorphe Funktion und . hat in eine Nullstelle der Ordnung , wenn eine holomorphe Funktion existiert, mit:
- .
Polstelle der Ordnung n Bearbeiten
Sei offen, eine holomorphe Funktion und . hat in eine Polstelle der Ordnung , wenn eine holomorphe Funktion existiert, mit:
- .
Aufgaben Bearbeiten
Sei offen, eine holomorphe Funktion und . Ferner habe in eine Nullstelle der Ordnung .
Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n Bearbeiten
Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für
Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n Bearbeiten
Begründen Sie, warum für den Term eine Umgebung existiert in der keine Singularitäten besitzt.
Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n Bearbeiten
Begründen Sie, warum nicht notwendigerweise auf ganz definiert sein muss.
Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n Bearbeiten
Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern:
und
Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n Bearbeiten
Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung und berechnen Sie wieder die Integrale:
und
Aussage Bearbeiten
Sei offen, . Sei die Menge der Null- und die Menge der Polstellen von . Sei ein Zyklus der jede Null- und jede Polstelle von genau einmal im positiven Sinn umläuft, d. h. es ist für jedes . Wir setzen für :
Dann ist
Beweis Bearbeiten
Für jedes gibt es dann eine Umgebung und ein holomorphes so dass , und
gilt.
Beweis 1: Holomorphie und Anwendung Residuensatz Bearbeiten
Der Integrand ist überall in mit Ausnahme von möglicherweise holomorph. Nach dem Residuensatz genügt es, die Residuen von in den Punkten von zu berechnen:
Beweis 2: Residuum für Nullstellen/Polstellen Bearbeiten
Sei , dann erhalten wir, wenn wir differenzieren, dass
also ist für nahe bei :
- mit
Beweis 3: Anwendung Residuensatz Bearbeiten
Der zweite Summand ist holomorph, also ist ein Pol erster Ordnung von und
Die Behauptung folgt mit dem Residuensatz.
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