Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve

Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Kurvenintegrale. Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können.

Definition

Sei $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$ eine stetige Kurve. Sie heißt rektifizierbar, wenn ihre Länge

{\mathcal {L}}(\gamma ):=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b\right\}

endlich ist, ${\mathcal {L}}(\gamma )$ heißt Länge von $\gamma$ .

Approximation der Weglänge durch Polygonzug

Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug $P$ zur Approximation der Länge einer Kurve $\gamma$ verwendet werden kann.

Abschätzung der Länge

Die Länge des Polygonzuges $P_{n}$ (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve $\gamma$ , d.h. ${\mathcal {L}}(P_{n})\leq {\mathcal {L}}(\gamma )$ . In der Regel gilt ${\mathcal {L}}(P_{n})<{\mathcal {L}}(\gamma )$ . Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die $<$ , wenn die Spur des Weges keine Gerade ist.

Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges

Ist $\gamma$ stetig differenzierbar, so ist $\gamma$ rektifizierbar. Seien nämlich $a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b$ , dann gibt es nach dem Mittelwertsatz $\tau _{i}\in (t_{i-1},t_{i})$ so, dass

\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|=\sum _{i=1}^{n}|{\gamma '(\tau _{i})}|\cdot (t_{i}-t_{i-1})

Riemannsumme als Längen des Polygonzuges

Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral $\int _{a}^{b}|\gamma {\,}'(t)|\,dt$ . Geht man das Maximum der Intervallbreiten $\max _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(t_{i}-t_{t-1})$ für $n$ gegen $\infty$ gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge ${\mathcal {L}}(P_{n})$ gegen die Länge des Weges ${\mathcal {L}}(\gamma )$

Länge bei stetig differenzierbaren Wegen

Sei $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert

{\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt

die Länge des Weges $\gamma$ .

Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen

Da $\gamma$ stetig differenzierbar ist, ist $\gamma {\,}'$ als stetige Funktion. Da $[a,b]$ auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt $\gamma {\,}'$ und $|\gamma {\,}'|$ beschränkt und es gilt:

{\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt<\infty

Stückweise stetig differenzierbare Kurven

Allgemeiner sind stückweise $C^{1}$ -Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet.