Integralformel von Cauchy
Einführung
BearbeitenDie Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.
Für Kreisschreiben
BearbeitenAussage
BearbeitenEs sei eine offene Menge, eine Kreisscheibe mit und holomorph. Dann gilt
für jedes .
Beweis 1
BearbeitenDurch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe mit . Definiere durch
Beweis 2
BearbeitenDann ist stetig auf und auf holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf anwenden und erhalten
Für setze . Dann ist holomorph mit
Beweis 3
BearbeitenDa der Integrand eine Stammfunktion in hat, gilt
Beweis 4
BearbeitenDa auf ganz so gilt, muss konstant sein. Damit folgt, dass stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt der Kreisscheibe , d.h. gleich ist. Damit ist
Das war die Behauptung.
Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen
BearbeitenAussage
BearbeitenEs sei eine offene Menge, ein nullhomologer Zyklus in und holomorph. Dann gilt
für jedes , dabei bezeichnet die Umlaufzahl.
Beweis 1
BearbeitenDefiniere eine Funktion durch
definiert.
Beweis 2: g stetig
BearbeitenWir zeigen die Stetigkeit in beiden Variablen. Ist mit , so wird in der Nähe von durch die obige Formel gegeben und ist trivialerweise stetig. Es sei . Wir wählen eine -Umgebung und untersuchen auf
a) im Fall :
Beweis 3
Bearbeitenb) im Fall :
Nun ist - als Folge der Cauchyschen Formeln für Kreise! - die Ableitung stetig in . Zu gegebenem können wir also so wählen, dass
für alle wird.
Beweis 4
BearbeitenDamit folgt im Fall a):
im Fall b)
Wir setzen nun
ist eine auf ganz stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.
Beweis 5
BearbeitenEs sei also der orienteirte Rand eines Dreiecks, das ganz in liegt, wir müssen
nachweisen. Es ist
da wegen der Stetigkeit des Integranden auf die Integrationen vertauschbar sind. Für festes ist die Funktion in der Variable stetig und holomorph für , also überhaupt holomorph.
Beweis 6
BearbeitenNach dem Satz von Goursat folgt
Damit ist natürlich auch
Bisher haben wir die Voraussetzungen über noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei
- .
Beweis 7
BearbeitenDa auf die Funktion sich einfacher schreibt, nämlich
da die Funktion aber offenbar auf ganz holomorph ist, können wir durch
zu einer auf ganz erklärten holomorphen Funktion fortsetzen. Nun ist nullhomolog in und damit
d.h. ist eine ganze Funktion.
Beweis 8
BearbeitenFür haben wir auf die Bezeichnung
dabei ist , wenn ist.
enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle : es folgt, dass beschränkt, also nach dme Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge mit , so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)
insgesamt also , insbesondere ; das wollten wir zeigen.
Folgerungen
BearbeitenAus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten
Folgerungen für Kreisscheiben
BearbeitenEs sei eine offene Menge, eine Kreisscheibe mit und holomorph. Dann ist unendlich oft differenzierbar und für jedes gilt
für jedes .
Für Zyklen
BearbeitenEs sei eine offene Menge, ein nullhomologer Zyklus und holomorph. Dann gilt
für jedes und jedes .
Analytizität
BearbeitenAllgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:
Aussage
BearbeitenSei offen und holomorph. Sei und so, dass gilt. Dann ist auf durch eine konvergente Potenzreihe
darstellbar und die Koeffizienten sind durch
gegeben.
Beweis 1
BearbeitenFür , haben wir:
Beweis 2
BearbeitenDie Reihe konvergiert wegen absolut und wir erhalten
Siehe auch
BearbeitenSeiten-Information
BearbeitenDer Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.
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- Diese Seite ist eine PanDocElectron-SLIDE Dokumententyp
- Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe
- vorausgehender Inhalt des Kurses ist der Cauchy-Integralsatz für Zyklen