Integralformel von Cauchy

Einführung

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Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Für Kreisschreiben

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Es sei   eine offene Menge,   eine Kreisscheibe mit   und   holomorph. Dann gilt

 

für jedes  .

Beweis 1

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Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe   mit  . Definiere   durch

 

Beweis 2

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Dann ist   stetig auf   und auf   holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf   anwenden und erhalten

 

Für   setze  . Dann ist   holomorph mit

 

Beweis 3

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Da der Integrand   eine Stammfunktion in   hat, gilt

 

Beweis 4

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Da   auf ganz so   gilt, muss   konstant sein. Damit folgt, dass   stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt   der Kreisscheibe  , d.h. gleich   ist. Damit ist

 

Das war die Behauptung.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen

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Es sei   eine offene Menge,   ein nullhomologer Zyklus in   und   holomorph. Dann gilt

 

für jedes  , dabei bezeichnet   die Umlaufzahl.

Beweis 1

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Definiere eine Funktion   durch

 

definiert.

Beweis 2: g stetig

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Wir zeigen die Stetigkeit in beiden Variablen. Ist   mit  , so wird   in der Nähe von   durch die obige Formel gegeben und ist trivialerweise stetig. Es sei  . Wir wählen eine  -Umgebung   und untersuchen   auf  

a) im Fall  :

 

Beweis 3

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b) im Fall  :

 

Nun ist - als Folge der Cauchyschen Formeln für Kreise! - die Ableitung   stetig in  . Zu gegebenem   können wir also   so wählen, dass

 

für alle   wird.

Beweis 4

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Damit folgt im Fall a):

 

im Fall b)

 

Wir setzen nun

 

  ist eine auf ganz   stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.

Beweis 5

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Es sei also   der orienteirte Rand eines Dreiecks, das ganz in   liegt, wir müssen

 

nachweisen. Es ist

 

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf   die Integrationen vertauschbar sind. Für festes   ist die Funktion   in der Variable   stetig und holomorph für  , also überhaupt holomorph.

Beweis 6

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Nach dem Satz von Goursat folgt

 

Damit ist natürlich auch

 

Bisher haben wir die Voraussetzungen über   noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei

 .

Beweis 7

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Da auf   die Funktion   sich einfacher schreibt, nämlich

 

da die Funktion   aber offenbar auf ganz   holomorph ist, können wir   durch

 

zu einer auf ganz   erklärten holomorphen Funktion   fortsetzen. Nun ist   nullhomolog in   und damit

 

d.h.   ist eine ganze Funktion.

Beweis 8

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Für   haben wir auf   die Bezeichnung

 

dabei ist  , wenn   ist.

  enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um  . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle  : es folgt, dass   beschränkt, also nach dme Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge   mit  , so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)

 

insgesamt also  , insbesondere  ; das wollten wir zeigen.

Folgerungen

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Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in   unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten

Folgerungen für Kreisscheiben

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Es sei   eine offene Menge,   eine Kreisscheibe mit   und   holomorph. Dann ist   unendlich oft differenzierbar und für jedes   gilt

 

für jedes  .

Für Zyklen

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Es sei   eine offene Menge,   ein nullhomologer Zyklus und   holomorph. Dann gilt

 

für jedes   und jedes  .

Analytizität

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Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Sei   offen und   holomorph. Sei   und   so, dass   gilt. Dann ist   auf   durch eine konvergente Potenzreihe

 

darstellbar und die Koeffizienten sind durch

 

gegeben.

Beweis 1

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Für  ,   haben wir:

 

Beweis 2

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Die Reihe konvergiert wegen   absolut und wir erhalten

 

Siehe auch

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Seiten-Information

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Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.