Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat

Das Lemma von Goursat ist eine wichtige Teilaussage im Beweis für den Integralsatz von Cauchy. Es beschränkt die Integrationswege auf Dreiecke, ist dadurch durch ein geometrisches Unterteilungsargument zu beweisen.

Es sei   ein abgeschlossenes Dreieck,   offen und   holomorph. Dann gilt  

Setze  , wir werden induktiv eine Folge   mit den Eigenschaften

  1.  
  2.   (  bezeichnet die Länge einer Kurve)
  3.  

Sei also   und   bereits konstruiert. Wir unterteilen  , in dem wir die Seitenmittelpunkte verbinden, in vier Teildreiecke  ,  . Da die Verbindungen der Seitenmitten sich bei der Integration gegenseitig aufheben, haben wir

 

Wähle nun   mit   und setze  . Dann ist   nach Konstruktion, weiterhin haben wir

 

und

 

also hat   genau die geforderten Eigenschaften.

Da alle   kompakt sind, ist  , sei  . Da   in   holomorph ist, gibt es in einer Umgebung   von   eine stetige Funktion   mit   und

 

Da   eine Stammfunktion hat, folgt für die   mit  , dass

 

Damit erhalten wir wegen der Stetigkeit von   und  , dass

 

Notation im Beweis

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  •   ist das  -te ähnliche Teildreieck zum Ausgangsdreieck mit den um den Faktor   verkürzten Seitenlänge.
  •   ist der Integrationsweg über den Rand  -te ähnlichen Teildreiecks mit einem Umfang  .


Siehe auch

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