Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)

Einleitung

Das Lemma von Goursat, manchmal auch als Satz von Goursat bezeichnet, ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Das Lemma von Goursat ist eine Vorstufe des Cauchyschen Integralsatzes und wird auch oft für dessen Beweis genutzt. Es spielt im Aufbau der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Bemerkenswert ist, dass das Lemma lediglich die komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht aber die stetige Differenzierbarkeit. Das Lemma wurde von Édouard Goursat (1858-1936) in der Rechteckform bewiesen und 1884 veröffentlicht. Die heute übliche Dreiecksform stammt von Alfred Pringsheim.

Lemma von Goursat

Sei ${f}:{U}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $\Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}\subset U$ ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt:

\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}={0}

Voraussetzungen - Details

(P1) Sei ${U}\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge,
(P2) Seien ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\in \mathbb {C}$ drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck

\Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}:=\left\{\sum _{k=1}^{3}\lambda _{k}\cdot {z}_{k}{\mid }{\left({\sum _{{k}{1}}^{3}}\lambda _{k}={1}\right)}\wedge \forall {k}\in {\left\lbrace {1},{2},{3}\right\rbrace }\lambda _{k}\in [{0},{1}]\right\}\subset {U}

definieren,

(P3) Sei ${f}:{U}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion,
(P4) Sei ${\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }:{\left[{0},{3}\right]}\to \mathbb {C}$ der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von $\Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}$ mit Startpunkt ${z}_{1}$ .

Behauptung

Für das Integral über den Rand des Dreiecks $\Delta {\left({z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right)}$ (also über den Weg ${\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }$ gilt dann die folgenden Behauptungen:

(C1) $\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}={0}$

Beweisidee

Der Beweis lässt sich in 4 Teile zerlegen:

(1) Dreieck: sukzessize Zerlegung eines gegebenen Dreiecks $\Delta ^{(n)}$ in 4 kongruente Teildreiecke
(2) Auswahl Teildreieck: Auswahl eines von 4 Teildreieck $\Delta ^{(n+1)}$ , über dessen Rand das Integral betragsmäßig maximal wird. Abschätzung des Integrals nach oben gegen das Vierfache des Integrals über Rand von $\Delta ^{(n+1)}$ .
(3) Punkt im Schnitt aller Dreiecke Schnitt über alle Dreiecke $\Delta ^{(n)}$ enthält genau einen Punkt $z_{o}$ . Darstellung der Funktion $f(z)$ als Taylorsumme bis zur Ordnung 1 mit Restglied $r(z)$ .
(4) Abschätzung des Integrals Durch die Abschätzung des Integrals nach oben und dem Sandwichtheorem erhält man die Behauptung (C1).

Beweis

Integrationsweg auf dem Dreiecksrand

Aufteilung der äußeren Wegen und Einfügen von zusätzlichen Wegen zwischen den Seitenmitten, die sich durch die umgekehrte Richtung des Integrationsweges im Wegintegral als Summe 0 ergeben und somit das Gesamtintegral nicht verändern.

Induktive Definition der Wege. Die Teildreieck sind ähnlich zum Ausgangsdreieck. Durch die Verwendung der Seitenmitten halbiert sich jeweils der Umfang von einem Dreieck

\Delta ^{(n)}

zu

\Delta ^{(n+1)}

In dem Bewei definiert man wird eine Folge von Wegen über den Rand von Dreieicken rekursiv $\gamma ^{(n)}:={\left\langle z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},z_{3}^{(n)}\right\rangle }$ . Bei jedem Iterationsschritt geht man zu ähnlichen Dreiecken mit halber Weglänge über.

Beweisteil 1: Definition der Dreieckswege

Man startet bei der induktiven Definition der Dreieckswege mit dem Integrationsweg über den Rand des gegebenen Ausgangsdreieck aus dem Lemma. D.h. für ${n}={0}$ sei der geschlossene Dreiecksweg $\gamma ^{(0)}:[0,3]\to \mathbb {C}$ wie folgt definiert:

\gamma ^{(0)}(t):=\left\langle z_{1},z_{2},z_{3}\right\rangle (t):={\begin{cases}(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}&{\text{ wenn }}t\in [0,1]\\(2-t)\cdot z_{2}+(t-1)\cdot z_{3}&{\text{ wenn }}t\in (1,2]\\(3-t)\cdot z_{3}+(t-2)\cdot z_{1}&{\text{ wenn }}t\in (2,3]\\\end{cases}}

Beweisteil 1.1: Seitenmitten für das Dreieck

Bei eine induktiven Definition der Dreiecksweg sei nun $\gamma ^{(n)}$ bereits definiert. Wir definieren nun $\gamma ^{(n+1)}$ . Dabei werden die Seitenmitten des Dreiecks verwendet, um die Teildreiecke zu definieren. ${\frac {z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}}{2}}$ in der folgenden Definition die Seitenmitten zwischen den Punkten $z_{1}^{(n)}$ und $z_{2}^{(n)}$ .

Beweisteil 1.2: Definition Dreieck 1

Definition: Dreiecksweg ${\gamma _{1}^{(n)}}:={\left\langle {\frac {z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}}{2}},z_{2}^{(n)},{\frac {z_{2}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}}\right\rangle }$ ,

Beweisteil 1.3: Definition Dreieck 2

Definition: Dreiecksweg ${\gamma _{2}^{(n)}}:={\left\langle {\frac {z_{2}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}},z_{3}^{(n)},{\frac {z_{1}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}}\right\rangle }$ ,

Beweisteil 1.4: Definition Dreieck 3

Definition: Dreiecksweg ${\gamma _{3}^{(n)}}:={\left\langle {\frac {z_{1}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}},z_{1}^{(n)},{\frac {z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}}{2}}\right\rangle }$ ,

Beweisteil 1.5: Definition Dreieck 4

Definition des vierten (rot markierten) Dreieckswege beinhaltet hat als inneres Dreick die 3 Seitenmitten als Eckpunkte

{\gamma _{4}^{(n)}}:={\left\langle {\frac {z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}}{2}},{\frac {z_{2}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}},{\frac {z_{1}^{(n)}+z_{3}^{(n)}}{2}}\right\rangle }

Beweisteil 1.6: Betragsmäßige Abschätzung der Integrale über Teildreiecke

Vergleicht man den Betrag der Integrale über die 4 Dreieckswege, so gibt es einen Index ${i}\in {\left\lbrace {1},{2},{3},{4}\right\rbrace }$ des Absolutwert des Integrals am größten ist. Für diesen Index $i$ gilt dann:

\forall _{{k}\in {\left\lbrace {1},,{2},{3},{4}\right\rbrace }}:{\left|\int _{\gamma _{k}^{(n)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\leq {\left|\int _{\gamma _{i}^{(n)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}

Beweisteil 1.7: Definition des n+1-ten Dreiecksweges

Wenn $i$ Index ist, bei dem das betragsmäßige Integral am größten ist, so definitiert man in der induktiven Definition nun den nächsten Dreiecksweg über: $\gamma ^{\left({n}+{1}\right)}:={\gamma _{i}^{(n)}}$

Beweisteil 2: Abschätzungen

In dem folgenden Beweisteil wird der Betrag des Integrals über den Dreiecksrand gegen das betragsmäßig größte Integral der 4 oben definierten Teildreiecke abgeschätzt.

Beweisteil 2.1 - Abschätzungen

Da das rote Dreieck in der obigen Abbildung für die die ergänzten grün markierten Integrationswege jeweil einen Integrationsweg mit umgekehrter Richtung liefert, ändert sich der Gesamtwert des Integral über $f$ durch das Hinzufügen der Wege nicht. Dies formuliert die folgende Gleichung, wobei die Summe die Integration über die 4 Teildreiecke darstellt:

\int _{\gamma ^{(n)}}f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{4}\int _{\gamma _{k}^{(n)}}f(z)\,dz

Beweisteil 2.2 - Abschätzungen

Durch Anwendung der Dreiecksungleichung kann man den Betrag des Integral nach oben gegen die Summe der Beträge der Integrale über die 4 Einzeldreiecke abschätzen:

{\begin{array}{rcl}{\left|\int _{\gamma ^{(n)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}&=&\left|{\displaystyle \sum _{{k}={1}}^{4}}\int _{\gamma _{k}^{(n)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|\\&\leq &4\cdot \left|\int _{\gamma _{i}^{(n)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|=4\cdot \left|\int _{\gamma ^{(n+1)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|\\\end{array}},

wobei der Weg $\gamma _{i}^{(n)}=\gamma ^{(n+1)}$ der Integrationsweg über dem Dreiecksrand mit dem maximalen betragsmäßigen Integral ist.

Beweisteil 2.3 - Abschätzungen

Diese Abschätzung gilt für alle ${n}\in \mathbb {N}$ Interationsschritte, kann man auch wieder das Integral über $\left|\int _{\gamma ^{(n+1)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|$ mit der gleichen geometrischen Grundidee immer weiter nach oben abschätzen:

{\begin{array}{rcl}0\leq {\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|}&=&{\left|\int _{\gamma ^{(0)}}f(z){\left.{d}{z}\right.}\right|}\leq 4\cdot {\left|\int _{\gamma ^{\left({1}\right)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\\&\leq &\ldots \\&\leq &{4}^{n-1}\cdot \left|\int _{\gamma ^{(n-1)}}f(z)\,dz\right|\\&\leq &{4}^{n}\cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}f(z)\,dz\right|\\\end{array}}

Beweisteil 3: Durchmesser der Teildreiecke

Durch die oben definierte geschachtelte Definition der Teildreiecke gilt für alle ${n}\in \mathbb {N}$ die Teilmengenbeziehung $\Delta {\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\supset \Delta {\left({{z}_{1}^{\left({n}+{1}\right)}},{{z}_{2}^{\left({n}+{1}\right)}},{{z}_{3}^{\left({n}+{1}\right)}}\right)}$ , wobei der Durchmesser (engl. "diameter") der Teildreiecke für wachsende $n$ gegen 0 geht:

\lim _{n\to \infty }\,{\text{diam}}\left(\Delta {\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\right)=0

Beweisteil 3.1: Schnitt über alle Teildreiecke

Der Schnitt über alle Teildreiecke enthält mit den obigen Eigenschaften einen einzelnen Punkt $z_{o}$ , der in allen Teildreiecken enthalten ist, d.h.

\exists _{{z}_{0}\in {U}}\forall _{{n}\in \mathbb {N} }:{z}_{0}\in \Delta ^{(n)}:=\Delta {\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}

und es gilt

{\left\lbrace {z}_{0}\right\rbrace }=\bigcap _{{n}\in \mathbb {N} }\Delta ^{(n)}

Beweisteil 4: Holomorphie verwenden (P3)

Durch die Holomorphie von $f$ auf $U$ lässt sich $f$ durch eine Taylorsumme bis zu Ordnung 1 in $z_{0}\in U$ mit einem Restglied $r(z)$ entwickeln

f(z):=f(z_{0})+f'(z_{0})\cdot (z-z_{0})+r(z),

wobei das Restglied $r$ die Eigenschaft $\lim _{z\to z_{0}}{\frac {r(z)}{z-z_{0}}}=0$ und $r(z_{o})=0$ erfüllt - Begründung (P3)

Beweisteil 4.1: Zerlegung von f in zwei Funktionen

Die Funktion ${f}:{U}\to \mathbb {C}$ lässt damit in ein Polynom vom Grad 1 ${h}:{U}\to \mathbb {C}$ mit $h(z):=f(z_{0})+f'(z_{0})\cdot (z-z_{0})$ und ein Restglied $r(z)$ zerlegen. Da die Funktion $h$ eine Stammfunktion $H(z):=f(z_{0})+f'(z_{0})\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (z-z_{0})^{2}$ besitzt, ist das Wegintegral über geschlossene Weg 0 - Begründung: (SF). Das Wegintegral über $\gamma ^{(n)}$ der Funktion ${h}:{U}\to \mathbb {C}$ ist damit $\int _{\gamma ^{(n)}}h(z)\,dz=0$

Beweisteil 4.2: Zerlegung von f in zwei Funktionen

Durch Anwendung der Linearität des Integral für die Zerlegung erhält man für Wegintegral über geschlossene Wege $\gamma ^{(n)}$ der Funktion ${f}:{U}\to \mathbb {C}$ gilt $\int _{\gamma ^{(n)}}f(z)\,dz=\underbrace {\int _{\gamma ^{(n)}}h(z)\,dz} _{=0}+\int _{\gamma ^{(n)}}r(z)\,dz=\int _{\gamma ^{(n)}}{r}{\left({z}\right)}{\left.{d}{z}\right.}$

Beweisteil 4: Abschätzung des Restglieds r(z)

Definiert man nun $g(z):={\frac {r(z)}{z-z_{0}}}$ für $z\not =z_{o}$ und $g(z_{o}):=0$ , so liefert die Eigenschaft $\lim _{z\to z_{0}}{\frac {r(z)}{z-z_{0}}}=0$ die Stetigkeit von $g$ in $z_{0}$ . Für $z_{o}$ wendet man nun das Epsilon-Delta-Kriterium an.

Beweisteil 4.1: Epsilon-Delta-Kriterium

Für alle $\epsilon >{0}$ gibt es also ein $\delta >{0}$ mit $z\not =z_{o}$ :

|z-z_{0}|<\delta \ \Longrightarrow \ |g(z)-\underbrace {g(z_{o})} _{=0}|=\left|{\frac {r(z)}{z-z_{0}}}\right|<\epsilon

Beweisteil 4.2: Epsilon-Delta-Kriterium

Für alle $\epsilon >{0}$ gibt es ein $\delta >0$ :

|z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |r(z)|<\epsilon \cdot |z-z_{0}|

Da das $z$ für wachsende $n$ immer auf dem Dreiecksrand von $\Delta _{n}$ und der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss sich $z$ für wachsenden $n$ gegen $z_{o}$ konvergieren.

Beweisteil 4.3: Anwendung in der Abschätzung

Die Abschätzung aus 4.2 wird nun auf die Abschätzung des Restgliedes $r(z)$ angewendet und man erhält:

\left|\int _{\gamma ^{(n)}}f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\gamma ^{(n)}}r(z)\,dz\right|\leq \left|\varepsilon \cdot \int _{\gamma ^{(n)}}|z-z_{o}|\,dz\right|

Dabei wählt man das $n\geq n_{\delta }$ , wobei man aus der Bedingung $\lim _{n\to \infty }{\text{diam}}\left(\Delta ^{(n)}\right)=0$ und $z\in \Delta ^{(n)}$ für alle $\epsilon >0$ ein $n_{\delta }\in \mathbb {N}$ mit $\Delta ^{(n)}\subseteq {D}_{\delta }(z_{0})$ für alle $n>n_{\delta }$ .

Bemerkung 4.4: Anwendung in der Abschätzung

Wenn also der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss ab einer Indexschranke $n_{\delta }$ das Dreieck $\Delta ^{(n)}$ ganz in der offenen Kreisschreibe ${D}_{\delta }(z_{0})$ mit dem Radius $\delta >0$ um $z_{o}$ liegen.

Beweisteil 4.5: Anwendung in der Abschätzung

Wenn man nun diese Abschätzung auf das Ausgangsintegral und das Dreieck $\Delta ^{(0)}$ an, erhält man:

{\begin{array}{rcl}0\leq {\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|}&=&{\left|\int _{\gamma ^{(0)}}f(z){\left.{d}{z}\right.}\right|}\leq 4\cdot {\left|\int _{\gamma ^{\left({1}\right)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\\&\leq &\ldots \\&\leq &{4}^{n}\cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}r(z)\,dz\right|\\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}|z-z_{o}|\,dz\right|\\\end{array}}

Beweisteil 4.6: Abschätzung gegen die Länge des Weges

$z$ ist in dem obigen Integral ein Punkt auf dem Rand des Dreiecks $\Delta ^{(n)}$ und $z_{o}$ ist ein innerer Punkt des Dreiecks $\Delta ^{(n)}$ . Abstand $|z-z_{o}|$ zwischen einem Randpunkt $z$ und einem inneren Punkt $z_{o}$ des Dreiecks ist damit kleiner als die Länge ${\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)$ des Intergrationswege $\gamma ^{(n)}$ .

Beweisteil 4.7: Abschätzung gegen die Länge des Weges

{\begin{array}{rcl}0\leq {\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|}&=&{\left|\int _{\gamma ^{(0)}}f(z){\left.{d}{z}\right.}\right|}\leq 4\cdot {\left|\int _{\gamma ^{\left({1}\right)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\\&\leq &\ldots \\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}|z-z_{o}|\,dz\right|\\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)\,dz\right|\\\end{array}}

Beweisteil 4.8: Abschätzung gegen die Länge des Weges

Da sich mit jeder weiteren Zerlegung des Dreiecks $\Delta ^{(n)}$ in $\Delta ^{(n+1)}$ die Länge des Integrationswege von $\gamma ^{(n-1)}$ zu $\gamma ^{(n)}$ halbiert, erhält

|z-z_{0}|<{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)={\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)

für alle

n\in \mathbb {N}

und alle

z\in \Delta ^{(n)}

Begründung: Der Faktor ${\frac {1}{2^{n}}}$ entsteht durch die fortgesetzte Halbierung der Seiten der Dreiecke $\Delta ^{(n)}$

Beweisteil 4.9: Abschätzung gegen die Länge des Weges

{\begin{array}{rcl}0\leq {\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|}&=&{\left|\int _{\gamma ^{(0)}}f(z){\left.{d}{z}\right.}\right|}\leq 4\cdot {\left|\int _{\gamma ^{\left({1}\right)}}{f{\left({z}\right)}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\\&\leq &\ldots \\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)\,dz\right|\\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)\cdot \underbrace {\left|\int _{\gamma ^{(n)}}1\,dz\right|} _{\leq {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)}\\&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)\cdot \underbrace {{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)} _{\leq {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)}\\\end{array}}

Beweisteil 4.10: Abschätzung gegen die Länge des Weges

Die Abschätzung von der zweiten zur dritten Zeile erfolgt mit der unten angegebenen Begründung für da Wegintegral (IAL).

{\begin{array}{rcl}0\leq {\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|}&\leq &{4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int _{\gamma ^{(n)}}{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)\,dz\right|\\&\leq &{4}^{n}\varepsilon \cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)\cdot \underbrace {\left|\int _{\gamma ^{(n)}}1\,dz\right|} _{\leq {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)}\\&\leq &{4}^{n}\varepsilon \cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)\cdot \underbrace {{\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(n)}\right)} _{\leq {\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)}\\&\leq &\varepsilon \cdot {\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)^{2}\\\end{array}}

Beweisteil 4.11: Abschätzung gegen die Länge des Weges

Da ${\mathcal {L}}\left(\gamma ^{(0)}\right)$ eine Konstante ist und die Aussage 4.10 für alle $\varepsilon >0$ gilt, muss Betrag $\left|\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}\right|=0$ gelten. Damit gilt auch $\int _{\left\langle {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\right\rangle }{f{\left({z}\right)}}{d}{z}=0$ und es folgt die Behauptung des Lemmas von Goursat.

Abkürzungen für Begründungen

(DU) $\forall _{a,b\in \mathbb {C} }:|a+b|\leq |a|+|b|$
(DI) Definition: Sei $M\subset {C}$ eine Menge ${\text{diam}}(M):={\text{sup}}\lbrace |b-a|\,:\,a,b\in M\rbrace$
(WE) Definition (Weg): Sei ${U}\subseteq \mathbb {C}$ eine Teilmenge und $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$ . Ein Weg $\gamma$ in $U\subseteq \mathbb {C}$ ist eine stetige Abbildung $\gamma :[a,b]\to U$ .
(SPU) Definition (Spur): Sei $\gamma :[a,b]\to U$ eine Weg in ${U}\subseteq \mathbb {C}$ . Die Spur von $\gamma$ ist definiert als: ${\text{Spur}}(\gamma ):=\lbrace \gamma (t)\in \mathbb {C} \,{\mid }\,t\in [a,b]\rbrace$ .
(WZ) Definition (wegzusammenhängend): Sei ${U}\subseteq \mathbb {C}$ eine Teilmenge. ${U}$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu beliebigen Punkt $z_{1},z_{2}\in U$ einen Weg $\gamma :[a,b]\to U$ in $U\subseteq \mathbb {C}$ gibt, mit $\gamma (a)=z_{1}$ , $\gamma (b)=z_{2}$ und ${\text{Spur}}(\gamma )\subseteq U$ .
(GE) Definition (Gebiet): Eine Teilmenge ${G}\subseteq \mathbb {C}$ heißt Gebiet, wenn (1) ${G}$ offen, (2) ${G}\neq \emptyset$ und (3) ${G}$ wegzusammenhängend ist.
(WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist.
(UT) Definition (Unterteilung): Sei $[a,b]$ ein Intervall, $n\in \mathbb {N}$ und ${a}={u}_{0}<{\ldots }<{u}_{n}={b}$ . ${\left({u}_{0},\ldots ,{u}_{n}\right)}\in \mathbb {R} ^{n+1}$ heißt dann Unterteilung von ${\left[{a},{b}\right]}$ .
(WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ ein Weg in ${U}\subseteq \mathbb {C}$ , ${n}\in \mathbb {N}$ , ${\left({u}_{0},\ldots ,{u}_{n}\right)}$ eine Unterteilung von $[a,b]$ , $\gamma _{k}:{\left[{u}_{{k}-{1}},{u}_{k}\right]}\to \mathbb {C}$ für alle ${k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }$ ein Weg in ${U}$ . ${\left(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}\right)}$ heißt Wegunterteilung von $\gamma$ , wenn gilt $\gamma _{n}{\left({b}\right)}=\gamma {\left({b}\right)}$ und $\forall _{{k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }}\forall _{{t}\in {\left[{u}_{{k}-{1}},{u}_{k}\right)}}:\gamma _{k}{\left({t}\right)}=\gamma {\left({t}\right)}\wedge \gamma _{k}{\left({u}_{{k}-{1}}\right)}=\gamma _{{k}-{1}}{\left({u}_{k}\right)}$ .
(WG3) Definition (Integrationsweg/Weg stückweise glatt): Ein Weg $\gamma :{\left[{a},{b}\right]}\to \mathbb {C}$ heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung ${\left(\gamma _{1},\ldots \gamma _{n}\right)}$ aus glatten Wegen $\gamma _{k}$ für alle ${k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }$ existiert.
(WG4) Definition (Wegintegral): Sei $f:U\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion und $\gamma :[a,b]\to U$ ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: $\int _{\gamma }f:=\int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,dt$ . Ist $\gamma$ nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung $(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n})$ , dann definiert man $\int _{\gamma }f(z)\,dz:=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}f(z)\,dz$ .
(SF) Satz (Stammfunktion mit geschlossenen Wegen): Besitzt eine stetige Funktion $f:U\to \mathbb {C}$ eine Stammfunktion $F:U\to \mathbb {C}$ , dann gilt für den stückweise glatten Weg $\gamma :[a,b]\to U$ , dass $\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$ gilt.
(LIW) Länge des Integrationsweges: Sei $\gamma :{\left[{a},{b}\right]}\to \mathbb {C}$ ein glatter Weg, dann ist die ${\mathcal {L}}(\gamma )$ wie folgt definiert

{\mathcal {L}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt

.

Ist

\gamma :{\left[{a},{b}\right]}\to \mathbb {C}

allgemein ein Integrationsweg mit der Wegunterteilung

{\left(\gamma _{1},\ldots \gamma _{n}\right)}

aus glatten Wegen

\gamma _{k}

, so ist

{\mathcal {L}}(\gamma )

als Summe der Länge der glatten Wege

\gamma _{k}

definiert, also:

{\mathcal {L}}(\gamma ):=\sum _{k=1}^{n}{\mathcal {L}}(\gamma _{k})

(IAL) Integralabschätzung über die Länge des Integrationsweges: $\gamma :{\left[{a},{b}\right]}\to \mathbb {G}$ ein Integrationsweg auf dem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ , dann gilt für eine auf ${\text{Spur}}(\gamma )$ stetigen Funktion folgende Abschätzung:

\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in {\text{Spur}}(\gamma )}|f(z)|\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )

Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte $z_{1}=1-i$ , $z_{2}=i$ und $z_{3}=-1-i$ .

Stellen Sie den Gesamtweg $\gamma :[0,3]\to \mathbb {C}$ über den Dreiecksrand als Integral von drei Wegen $\gamma _{k}:[0,1]\to \mathbb {C}$ mit $k\in \{1,2,3\}$ jeweils als Konvexkombinationen dar.
Berechnen Sie die einzelnen Wegintegrale

\int _{\gamma _{k}}e^{z}\,dz

Berechnen Sie mit $\gamma =\sum _{k=1}^{3}\gamma _{k}$ das gesamte Integral

\int _{\gamma }e^{z}\,dz=\sum _{k=1}^{3}\int _{\gamma _{k}}e^{z}\,dz

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte $z_{1}=1-i$ , $z_{2}=i$ und $z_{3}=-1-i$ .

Betrachten Sie $\gamma _{1}:[0,1]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{1}(t)=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}$ und $f(z)={\frac {1}{z}}$ .
Berechnen Sie die Realteil- und Imaginärteilfunktion von $(f\circ \gamma _{1})\cdot \gamma _{1}'$ .
Berechnen Sie das Integral von $\int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\gamma _{1}(t)}}\cdot \gamma _{1}'(t)\,dt$

Literatur

Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin

Siehe auch

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