Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen der Einheitskreisscheibe

Das Ziel dieses Artikels ist es, alle biholomorphen Abbildungen $\mathbb {D} \to \mathbb {D}$ zu charaktisieren. Wir wollen beweisen:

Satz

Sei $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D}$ ein Automorphismus. Dann gibt es ein $z_{0}\in \mathbb {D}$ und ein $\lambda \in \mathbb {C}$ mit $|\lambda |=1$, so dass

$f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}$

Der Einheitskreis $\mathbb {D}$

und sein Bild unter $f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}$ für $z_{0}={\frac {2}{5}}(1+i)$ und $\lambda =2^{-1/2}(1+i)$

Umgekehrt sind alle solchen Abbildungen Automorphismen von $\mathbb {D}$.

Bevor wir den Satz beweisen, wollen wir noch eine wichtige Folgerung notieren:

Korollar

Sei $z_{0}\in \mathbb {D}$. Dann gibt es genau einen Automorphismus von $\mathbb {D}$ mit $f(0)=z_{0}$ und $f'(0)>0$.

Beweis des Korollars

• Zunächst zur Eindeutigkeit: Sind $f,g$ zwei solche Automorphismen, so betrachte $h:=f^{-1}\circ g\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D}$. Dann ist $h(0)=0$. Nach dem Satz gibt es $\lambda$ und $z_{1}$ so dass $h(z)=\lambda {\frac {z-z_{1}}{1-{\bar {z}}_{1}z}}$Es ist $0=h(0)=\lambda (-z_{1})\iff z_{1}=0$ also $h(z)=\lambda z$. Weiter ist $\lambda =h'(0)=(f^{-1}\circ g)'(0)={\frac {1}{f'{\big (}(f^{-1}\circ g)(0){\big )}}}\cdot g'(0)={\frac {g'(0)}{f'(0)}}>0$und damit $\lambda =1$, also ist $h=\mathrm {id}$, d. h. $\lambda =1$.
• Zur Existenz: Definiere $g\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D}$ durch $g(z):=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}$wobei $\lambda$ so gewählt sei, dass $g'(z_{0})>0$ gilt. Dann ist $g$ ein Automorphismus mit $g(z_{0})=0$. Setze $f:=g^{-1}$. Dann ist $f(0)=z_{0}$ und $f'(0)=1/g'(z_{0})>0$.

Beweis

Als erstes zeigen wir, dass alle diese Abbildungen Automorphismen sind. Sei also $z_{0}\in \mathbb {D}$, $|\lambda |=1$ und $f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{1-{\bar {z}}_{0}z}}$. Dann ist $f$ holomorph und wegen

$|f(z)|={\frac {|z-z_{0}|}{|1-{\bar {z}}_{0}z|}}={\frac {|z||1-{\bar {z}}z_{0}|}{|1-{\bar {z}}_{0}z|}}=|z|=1,\quad |z|=1$

und $f(z_{0})=0$ gilt $f(\mathbb {D} )\subseteq \mathbb {D}$. Um zu zeigen, dass $f$ ein Automorphismus ist, zeigen wir, dass $f$ umkehrbar ist und die Umkehrabbildung vom selben Typ ist, wir haben

${\begin{array}{rl}f(z)&=w\\\iff \displaystyle \lambda {\frac {z-z_{0}}{1-z{\bar {z}}_{0}}}&=w\\\iff z-z_{0}&={\bar {\lambda }}w(1-z{\bar {z}}_{0})\\\iff z(1+{\bar {\lambda }}w{\bar {z}}_{0})&={\bar {\lambda }}w+z_{0}\\\iff z&=\displaystyle {\frac {{\bar {\lambda }}w+z_{0}}{1+{\bar {\lambda }}w{\bar {z}}_{0}}}\\\iff z&={\bar {\lambda }}\displaystyle {\frac {w-{(-\lambda z_{0})}}{1-{\overline {(-\lambda z_{0})}}w}}\end{array}}$

Also ist $f^{-1}$ vom selben Typ, es folgt die Behauptung.

Zum Beweis der Tatsache, dass jeder Automorphismus von der behaupteten Form ist, betrachten wir zunächst den Spezialfall $f(0)=0$. Dann ist nach dem Lemma von Schwarz zunächst $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$, wenden wir das Lemma von Schwarz auf $f^{-1}$ an, erhalten wir analog $|z|\leq |f(z)|$, also insgesamt $|f(z)|=|z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$. Das Lemma von Schwarz liefert nun, dass $f$ eine Drehung ist, also $f(z)=\lambda z$ für ein $|\lambda |=1$.

Sei nun $f(0)=:z_{1}$, definiere $g(z):={\frac {z-z_{1}}{1-{\bar {z}}_{1}z}}$, nach obigem ist $g$ ein Automorphismus. Dann ist $h:=g\circ f$ ein Automorphismus von $\mathbb {D}$ mit $h(0)=0$, also $h(z)=\lambda z$ für ein $|\lambda |=1$. Es folgt nach obiger Rechnung:

$f(z)=g^{-1}(\lambda z)={\frac {\lambda z+z_{1}}{1+{\bar {z}}_{1}\lambda z}}=\lambda {\frac {z+{\bar {\lambda }}z_{1}}{1+{\overline {{\bar {\lambda }}z_{1}}}z}}$

mit $z_{0}:=-{\bar {\lambda }}z_{1}$ also die Behauptung.