Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen der Einheitskreisscheibe
Das Ziel dieses Artikels ist es, alle biholomorphen Abbildungen zu charaktisieren. Wir wollen beweisen:
Satz Bearbeiten
Sei ein Automorphismus. Dann gibt es ein und ein mit , so dass
Umgekehrt sind alle solchen Abbildungen Automorphismen von .
Bevor wir den Satz beweisen, wollen wir noch eine wichtige Folgerung notieren:
Korollar Bearbeiten
Sei . Dann gibt es genau einen Automorphismus von mit und .
Beweis des Korollars Bearbeiten
- Zunächst zur Eindeutigkeit: Sind zwei solche Automorphismen, so betrachte . Dann ist . Nach dem Satz gibt es und so dass
- Zur Existenz: Definiere durch
Beweis Bearbeiten
Als erstes zeigen wir, dass alle diese Abbildungen Automorphismen sind. Sei also , und . Dann ist holomorph und wegen
und gilt . Um zu zeigen, dass ein Automorphismus ist, zeigen wir, dass umkehrbar ist und die Umkehrabbildung vom selben Typ ist, wir haben
Also ist vom selben Typ, es folgt die Behauptung.
Zum Beweis der Tatsache, dass jeder Automorphismus von der behaupteten Form ist, betrachten wir zunächst den Spezialfall . Dann ist nach dem Lemma von Schwarz zunächst für alle , wenden wir das Lemma von Schwarz auf an, erhalten wir analog , also insgesamt für alle . Das Lemma von Schwarz liefert nun, dass eine Drehung ist, also für ein .
Sei nun , definiere , nach obigem ist ein Automorphismus. Dann ist ein Automorphismus von mit , also für ein . Es folgt nach obiger Rechnung:
mit also die Behauptung.