Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz

Einführung

Definitionsbereich: Umgebung eines Kreisringes mit den Radien r und R

Über die Cauchysche Integralformel werden in dem Zerlegungssatz zwei holomorphe Funktionen $f_{2}:\mathbb {C} \setminus D_{r}(z_{o})\to \mathbb {C}$ und $f_{1}:D_{R}(z_{o})\to \mathbb {C}$ definiert, die dann für die Entwicklung in eine Laurent-Reihe verwendet.

Grundlegende Definitionen

Die folgenden grundlegende Definitionen werden für den Zerlegungssatz verwendet:

$K_{r}^{R}(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,:\,0\leq r<|z-z_{o}|<R\}$

$K_{r}^{\infty }(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,:\,0\leq r<|z-z_{o}|\}$

$D_{r}(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{o}|<r\}$

${\overline {D_{r}(z_{o})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{o}|\leq r\}$

$\gamma _{r,z_{0}}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ mit $t\mapsto \gamma _{r,z_{0}}(t)=z_{o}+r\cdot e^{it}$

$\int _{\partial D_{r}(z_{o})}f(\xi )\,d\xi :=\int _{\gamma _{r,z_{0}}}f(\xi )\,d\xi$

Zerlegungssatz für Kreisringe

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge mit einer auf einem Kreisring ${\overline {K_{r}^{R}(z_{o})}}=\{z\in \mathbb {C} \,:\,r\leq |z-z_{o}|\leq R\}\subset G$ holomorphen Funktion. Dann lässt sich $f:K_{r}^{R}(z_{o})\to \mathbb {C}$ als $f=f_{1}+f_{2}$ in zwei holomorphen Funktion $f_{1}:D_{R}(z_{o})\to \mathbb {C}$ und $f_{2}:K_{r}^{\infty }(z_{o})\to \mathbb {C}$ zerlegen. Die Zerlegung $f=f_{1}+f_{2}$ ist mit $\lim _{z\to \infty }f_{2}(z)=0$ eindeutig.

Beweis

In dem Beweis werden Funktionen auf Kreisringen mit Mittelpunkt $z_{o}=0\in \mathbb {C}$ betrachtet. Durch entsprechende Verkettung mit einer Verschiebung kann man den Zerlegungssatz für beliebige $K_{r}^{R}(z_{o})=\{z\in \mathbb {C} \,:\,r\leq |z-z_{o}|\leq R\}$ übertragen mit ${\overline {K_{r}^{R}(z_{o})}}\subset G$. Wir betrachten zunächst die Beweisidee des Zerlegungssatzes.

Beweisidee

• Der Mittelpunkt $z_{o}=0\in \mathbb {C}$ von Kreisringen ist ein Spezialfall, mit dem man die Aussage für beliebige Kreisringe $z_{o}\in \mathbb {C}$ verallgemeinern kann.
• Definition eines Randzyklus über einen Kreisring mit zwei Integrationwegen über einen äußeren Rand und einen inneren Rand mit umgekehrter Orientierung.
• Anwendung des Cauchy-Integralsatzes für Zyklen
• Zerlegung des Integrals über einen Zyklus in die beiden Teilintegrationswege über den inneren und äßeren Rand.
• Ein Teilintegral wird den Hauptteil, der Laurent-Entwicklung liefern und das andere Teilintegral wird den Nebenteil des Integrals liefern.

Eindeutigkeit der Zerlegung

Die Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig, da man die Konstante nicht eindeutig zum Hauptteil oder zum Nebenteil zugeordnet werden kann. Die Zusatzbedingung für den Limes $z\to \infty$ liefert die Eindeutigkeit, da so die Konstante dem Nebenteil zugeordnet wird.

Beweis 1: Kreisringe mit Mittelpunkt 0

Wir betrachten holomorphe Funktionen auf Kreisringen um den Punkt $z_{o}\in \mathbb {C}$. Der Punkt $z_{o}\in \mathbb {C}$ wird der Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe mit $(z-z_{o})^{n}$ mit $n\in \mathbb {Z}$. Wir können uns zunächst auf Kreisringe um 0 (und damit um den Entwicklungspunkt 0) beschränken, da wir eine beliebige Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ mit $z_{o}\in \mathbb {C}$ und einem Kreisring ${\overline {K_{r}^{R}(z_{o})}}\subset G$ in eine Funktion $f_{z_{o}}:G_{z_{o}}\to \mathbb {C}$ transformieren können mit

$G_{z_{o}}=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \,:\,z\in G\}$ mit $0\in G_{z_{o}}$ da $z_{o}\in G$

$f_{z_{o}}:G_{z_{o}}\to \mathbb {C}$ mit $f_{z_{o}}(z):=f(z-z_{o})$

${\overline {K_{r}^{R}(0)}}\subset G_{z_{o}}$ da ${\overline {K_{r}^{R}(z_{o})}}\subset G$

Beweis 2: Definition des Randzyklus für den Kreisring

Wir definieren zwei Intergrationswege über den inneren und äußeren Rand des Kreisringes. Die beiden Integrationswege besitzen einen entgegengesetzten Umlaufsinn.

$\gamma _{1}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ mit $t\mapsto \gamma _{R,z_{0}}(t)=z_{o}+R\cdot e^{it}$

$\gamma _{2}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ mit $t\mapsto \gamma _{r,z_{0}}(t)=z_{o}+r\cdot e^{-it}$

$\Gamma :=\gamma _{1}+\gamma _{2}$

Beweis 3: Nullhomologer Zyklus

Wegen ${\overline {K_{r}^{R}(z_{o})}}=\{z\in \mathbb {C} \,:\,r\leq |z-z_{o}|\leq R\}\subset G$ ist $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus, da nur innere Punkte des Kreisringes die Umlaufzahl 1 besitzen und alle inneren Punkte (und der Rand des Kreisringes) zu $G$ gehören.

Beweis 4: Anwendung Cauchyintegralformel für Zyklen

Für $z\in K_{r}^{R}(z_{o})$ gilt:

$n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\left(\int \limits _{\gamma _{1}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi +\int \limits _{\gamma _{2}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \right)$

Beweis 5: Einsetzen für Integrationswege

Wegen $n(\Gamma ,z)=1$ für $z\in K_{r}^{R}(z_{o})$ gilt mit Einsetzen der Integrationswege:

$f(z)=\underbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi } _{=f_{1}(z)}+{\bigg (}\underbrace {-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi } _{=f_{2}(z)}{\bigg )}$

Das Minuszeichen vor dem zweiten Integral entsteht durch den umgekehrten Umlaufsinn von $\gamma _{2}$.

Beweis 6: Standardabschätzung

Wir betrachten den Limes des Integral $|f_{2}(z)|$ für $z\to \infty$ mit $C:=\max \limits _{\xi \in \partial D_{r}(z_{o})}|f(\xi )|$

$|f_{2}(z)|=\left|-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \right|\leq \int \limits _{\partial D_{r}(z_{o})}\left|{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\right|\,d\xi$

$\leq \int \limits _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {C}{|\xi -z|}}\,d\xi \leq \underbrace {2\pi r} _{L(\gamma _{2})}\cdot \max \limits _{\xi \in \partial D_{r}(z_{o})}{\frac {C}{|\xi -z|}}$

Da es sich um eine Abschätzung nach oben handelt und die Vorfaktoren allesamt kleiner 1 sind, können diese einfach weggelassen werden.

Beweis 7: Grenzwertprozess für Standardabschätzung

Damit erhält man:

$\lim _{z\to \infty }|f_{2}(z)|\leq \lim _{z\to \infty }\underbrace {2\pi r} _{L(\gamma _{2})}\cdot \max \limits _{\xi \in \partial D_{r}(z_{o})}{\frac {C}{|\xi -z|}}=0$

Beweis 8: Taylorentwicklung mit Cauchykern

Die Reihenentwicklung erfolgt mit dem Cauchy-Kern auf dem rot markierten Konvergenzbereich:

${\begin{aligned}f_{1}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}-(z-z_{o})}}\mathrm {d} \zeta \\&{=}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}}}\mathrm {d} \zeta \,\\&{\overset {|{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}|<1}{=}}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{R}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{o})^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-z_{o})^{n}\end{aligned}}$

(siehe auch Abelsches Lemma).

Beweis 9: Erweiterung des Defintionsbereichs auf das Kreiringinnere

Die Definitionsbereiche der beiden Funktionen ist bisher nur auf den Kreisring beschränkt.

Wir erweitern zunächst die Funktion $f_{1}$ schrittweise auf das Innere des Kreisrings.

Beweis 10: Entwicklungspunkt wandert auf inneren Kreis

Taylorententwicklung wandert auf einer Kreisbahn in $K_{r}^{R}(z_{o})$. Mit der Cauchy-Intergralformel und der lokalen entwickelbarkeit in Potenzreihen/Taylorreihen.

Dadurch kann man die Funktion mit dem Indentitätsatz auf ein Gebiet als Vereinigung von dem (grün markierten) Kreisring und der (rot markierten) offenen Kreisscheibe erweitern. Gleichzeitig geht das Holomorphiekriterium mit ein, dass eine Funktion genau dann holomorph ist, wenn diese sich lokal in Potenzreihen auf einem Gebiet entwickeln lässt.

Beweis 11: Wandernde Kreisschreiben als Konvergenbereich von Potenzreihen

Beweis 11: Holomorphe Erweiterung - Kreisscheibe, Kreisring

Mit dem Identitätssatzes stimmen zwei holomorphe Funktionen über, wenn sie auf einer nicht-diskreten Menge übereinstimmen. Diese ist in diesem Fall der Kreisring $G=K_{r_{o}}^{R_{o}}$.

Der rote Kreisring ist die Erweiterung mit allen Kreisscheiben und Entwicklungspunkten auf der Spur.

Beweis 12: Konvergenzbereich der Potenzreihe

Auf den Integranden $f_{1}$ kann man wieder mit dem Cauchy-Kern und der Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen eine Taylorreihe entwickeln. Diese Entwicklungen besitzen eine Kreisscheibe als Konvergenzbereich, wobei die für alle $z$ im Inneren der Kreisscheibe die Reihe konvergiert (siehe Abelsches Lemma). Die folgende Abbildung zeigt die Erweiterung des Definitionsbereiche nach der Anwendung des Identitätssatzes auf die Kreisscheiben als Konvergenzbereich der Taylorentwicklung un dem Schnitt mit dem Kreisring $K_{r}^{R}(z_{o})$. Die Schnittmenge ist jeweils eine nicht-diskreten Menge und die holomorphe Erweiterung auf die Vereinigung ist nach dem Identitätssatz eindeutig bestimmt.

Beweise 13: Konvergenzbereich iterativ erweitern

Erweiterter Definitionsberich bis zur Überdeckung des gesamten Inneren des Kreisringes weiterführen. Wiederholte Anwendung des Identitätsatzes für die holomorphe Erweiterung von $f_{1}$.

Die Entwicklungspunkte der Taylorentwicklungen liegen nun auf ein kreisförmigen Integrations mit kleinerem Radius.

Beweis 14a: Transformation des Definitionsbereichs für den Hauptteil

Für den Hauptteil ersetzen wir die Funktione $f_{2}$ durch $h$ mit $T(z):=z_{o}+{\frac {1}{z}}$:

$h(z):=(f_{2}\circ T)(z)=f_{2}\left(T(z)\right)=f_{2}\left(z_{o}+{\frac {1}{z}}\right)$

Mit der Transformation gilt:

$|z|<{\frac {1}{r}}\,\Longrightarrow |T(z)-z_{o}|>r$

Damit kann man ein analoges Vorgehen für $f_{1}$ auch auf die Erweiterung von $h$ anwenden. Für $h$ wird der Kreisring $K_{R_{1}}^{r_{1}}(0)$ mit $0<R_{1}:={\frac {1}{R}}<{\frac {1}{r}}=:r_{1}$ betrachtet. Die Funktion $h$ kann man auch für $0\in \mathbb {C}$ holomorph fortsetzen. Allerdings wäre $0\in \mathbb {C}$ durch die Transformation $T$ nicht definiert in $\mathbb {C}$. Insgesamt kann man also $f_{2}$ holomorph auf $K_{r}^{\infty }(z_{o})$ erweitern.

Beweis 14b: Analoges Vorgehen für Hauptteil

Analog zur Erweiterung des Kreisringes von außen auf das Innere. Kann man die Kreisring auch auf das Äußere erweitern, indem man die Taylorentwicklung für das Intergral $f_{2}$ wie bei der Cauchy-Integralformel vornimmt mit dem Cauchy-Kern. Hierbei muss man anmerken, dass der Entwicklungspunkt der Taylorentwicklung über die Spur von $\gamma _{R}$ läuft und der Konvergenzbereich der Taylorentwicklung überdeckt die Spur $\gamma _{r}$ des inneren Integrationsweges nicht, da sonst das Integral von $f_{2}$ nicht definiert wäre.

Siehe auch

• Abelsches Lemma

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