Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben
Die Cauchy-Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.
Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben
BearbeitenAussage
BearbeitenIst offen, holomorph, ein Punkt in und eine beschränkte Kreisscheibe in , dann gilt für alle (also für alle mit :
Dabei ist die positiv orientierte Kurve für über den Rand der Kreisscheibe .
Beweis 1
BearbeitenFür festes sei die Funktion definiert durch für und für . ist stetig auf und holomorph auf . Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun
- .
Beweis 2
BearbeitenDie Funktion , ist holomorph mit der Ableitung , welche verschwindet, da der Integrand eine Stammfunktion (nämlich ) hat. Also ist konstant, und wegen ist .
Folgerungen CIS
BearbeitenAus dem Cauchy-Integralsatz (CIS) ergeben sich folgende Korrolare:
Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe
BearbeitenFür jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei . Test
Ableitungen - Cauchy-Integralformel - CIF
BearbeitenJede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für und :
Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen
BearbeitenJede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für .
Mit der Integralformel für folgt sofort, dass die Koeffizienten genau die Taylor-Koeffizienten sind.
Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe
BearbeitenFür die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn für gilt:
Der Satz von Liouville (jede auf ganz holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in in Linearfaktoren) beweisen.
Beweis 1
BearbeitenDie Cauchy-Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:
Beweis 2a: Cauchy-Kern
BearbeitenEntwicklung von in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt (Cauchy-Kern)
Beweis 2: Cauchy-Kern - Taylorreihe
BearbeitenBeweis 2b: Cauchy-Kern
BearbeitenDa für die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:
Beweis 3: Abschätzung der Koeffizienten
BearbeitenFür die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein mit für . Dann gilt für :
Beweis 4: Satz von Liouville
BearbeitenIst auf ganz holomorph und beschränkt, also für alle , dann gilt wie vorher für alle :
Da beliebig war, gilt dann für alle . Somit folgt aus der Beschränktheit von :
Das heißt jede beschränkte auf ganz holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).
Beispiel
BearbeitenMit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:
Cauchy-Integralformel für Zyklen
BearbeitenEine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:
Ist ein Gebiet, holomorph und ein nullhomologer Zyklus in , dann gilt für alle , die nicht auf liegen, folgende Integralformel:
Dabei bezeichnet die Windungszahl oder Umlaufzahl von um .
Cauchysche Integralformel für Polyzylinder
BearbeitenDie cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum verallgemeinert. Seien Kreisscheiben in , dann ist ein Polyzylinder in . Sei eine holomorphe Funktion und Dann ist die cauchysche Integralformel durch
erklärt.
Einschränkungen mehrdimensionaler Raum
BearbeitenDa der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu
- ,
mit verkürzt werden.
Polyzylinder
BearbeitenPolyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei und der Radius des Polyzylinders ist.[1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.
Vorgehen im mehrdimensionalen Fall
BearbeitenIm mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel
für die Ableitungen der holomorphen Funktion als auch die cauchysche Ungleichung
Siehe auch
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.
Literatur
Bearbeiten- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
Seiten-Information
BearbeitenDie folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem Wikipedia2Wikiversity-Konverter zur Nutzung als Online-Präsentation mit Wiki2Reveal modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen.
Wikipedia2Wikiversity
BearbeitenDiese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:
- Cauchysche_Integralformel https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel
- Datum: 21.12.2018
- Wikipedia2Wikiversity-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity
Wiki2Reveal
BearbeitenDieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.