Das abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen. Es ist nach Niels Henrik Abel benannt.

Abelsches Lemma

Bearbeiten

Sei   die Konvergenzmenge der Potenzreihe   mit:

 ,

dann gelten folgenden Aussagen:

  • Für ein gegebenes Element   aus der Konvergenzmenge von   erhält man die absolute Konvergenz von   für alle   mit  
  • Für ein gegebenes Element   für das   also divergiert, divergieren auch alle   mit  

Aufgabe für Lernende

Bearbeiten
  • Zeigen Sie die Aussage des Abelschen Lemmas unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine konvergente Reihe(betragsmäßig) beschränkt Koeffizienten besitzt. Folgern Sie dann unter der Ausnutzung des Majorantenkriteriums und einer geometrischen Reihe als Majorante, dass   absolut konvergiert.
  • Begründen Sie, warum die Konvergenzmenge   eine offenen Kreisscheibe   enthält (wobei   maximal gewählt wird) und <math<>P</math> , divergieren auch alle   mit   divergiert.
  • Bestimmen Sie bei der folgenden Potenzreihe die Konvergenzradius   und geben auf dem Rand   der Konvergenzmenge zwei Punkte  , von den   konvergiert und   divergiert.
 ,
Nutzen Sie für die Auswahl der Punkte   Ihr Wissen aus der Analysis zur harmonischen Reihe.

Konsequenz

Bearbeiten

Wenn man berücksichtigt, dass die Reihe stets an solchen Punkten   divergieren muss, an denen die Folge ihrer Summanden unbeschränkt ist (nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen), dann folgt aus dem Lemma, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.

Siehe auch

Bearbeiten

Seiten-Information

Bearbeiten

Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt: