Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen

Die Menge der $2\times 2$-Matrizen der Form

$Z={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}=a\cdot E+b\cdot I$ mit $a,b\in \mathbb {R}$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit $1$ bzw. die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$ durch die Einheitsmatrix $E$ bzw. die Matrix $I$ dargestellt. Daher gilt:

$\operatorname {Re} (Z)=a$

$\operatorname {Im} (Z)=b$

$I^{2}=-E$

$\operatorname {abs} (Z)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {\det Z}}$

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen $2\times 2$-Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen ${\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}}.$

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern $a$ und $b$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum $\mathbb {R} ^{2}$. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b\mathrm {i}$ in der gaußschen Zahlenebene.