Sei ein Gebiet und eine komplexwertige Funktion. Man nennt die Funktion integrierbar, wenn

Die Kurve umläuft den Nullpunkt zweimal.
und mit

integrierbare Funktionen sind. Man definiert

.

Das Integral ist damit -linear. Ist stetig und eine Stammfunktion von , so gilt wie im Reellen

.

Der Integralbegriff wird über die Definition eines Integrationsweges auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet , und ist eine stückweise stetig differenzierbarer Weg in , so ist das Wegintegral von entlang des Weges definiert als

Der Malpunkt bezeichnet hier die komplexe Multiplikation.[1]

Cauchyscher IntegralsatzBearbeiten

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion   hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von   ab. Ist   einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von  , sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges   durch

 .

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die sogenannte Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

 , wenn   für alle   gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges  , d. h. es ist nicht zwingend notwendig,   als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg   durch eine Kurve   in   ersetzt.

AufgabeBearbeiten

  • Sei   mit  . Bestimmen Sie  !
  • Berechnen Sie für den Weg   mit   das Wegintegral  
  • Berechnen Sie die Länge des Weges   mit  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  1. „Kurvenintegral“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. November 2017, 16:22 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurvenintegral&oldid=171345033 (Abgerufen: 8. Dezember 2017, 14:27 UTC)