Wegintegral

Einleitung

Diese Seite zum Thema Wegintegral kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Wege als stetige Abbildungen von einem Interval $[a,b]$ in die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ über die man integriert,
• (2) Ableitungen von Kurven/Wegen als Voraussetzung für Definition von Wegintegralen,
• (3) Definition von Wegintegralen

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Wegintegral hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

• Begriff des Weges in einem topologischen Raum,
• Differnzierbarkeit in der reellen Analysis,
• Integration in der reellen Analysis.

Geometrische Grundidee des Wegintegrals

Die folgende Kurve $\gamma$ umläuft einen Punkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ zweimal.

Weg um einen Punkt

Integral über ein Intervall

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $g\colon [a,b]\to \mathbb {C}$ eine komplexwertige Funktion. Man nennt die Funktion $g$ integrierbar, wenn

$\operatorname {Re} (g):G\to \mathbb {R}$ und $\operatorname {Im} (g):G\to \mathbb {R}$ mit $g=\operatorname {Re} (g)+i\cdot \operatorname {Im} (g)$

integrierbare Funktionen sind. Man definiert

$\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x:=\int \limits _{a}^{b}\operatorname {Re} (g)(x)\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int \limits _{a}^{b}\operatorname {Im} (g)(x)\mathrm {d} x$.

Das Integral ist damit $\mathbb {C}$-linear. Ist $g$ stetig und $G$ eine Stammfunktion von $g$, so gilt wie im Reellen

$\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=G(b)-G(a)$.

Erweiterung des Integralbegriffes

Der Integralbegriff wird über die Definition eines Integrationsweges auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist $f\colon G\to \mathbb {C}$ eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$, und ist $\gamma \colon [a,b]\to G$ eine stückweise stetig differenzierbarer Weg in $G$, so ist das Wegintegral von $f$ entlang des Weges $\gamma$ definiert als

$\int \limits _{\gamma }f:=\int \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z:=\int \limits _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,\mathrm {d} t.$

Der Malpunkt bezeichnet hier die komplexe Multiplikation.

Cauchyscher Integralsatz

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion $f$ hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von $\gamma$ ab. Ist $U$ einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von $\gamma$, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ durch

$\operatorname {L} (\gamma ):=\int \limits _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t$.

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die sogenannte Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

$\left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq \operatorname {L} (\gamma )\cdot C$, wenn $\left|f(z)\right|\leq C$ für alle $z\in \gamma ([0,1])$ gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges $\gamma$, d. h. es ist nicht zwingend notwendig, $[0,1]$ als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg $\gamma$ durch eine Kurve ${\mathcal {C}}$ in $\mathbb {C}$ ersetzt.

Aufgabe

• Sei $\gamma \colon [a,b]\to G$ mit $t\mapsto \gamma (t)=sin(t)+i\cdot t^{2}$. Bestimmen Sie $\gamma '(t)$!
• Berechnen Sie für den Weg $\gamma \colon [0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ mit $t\mapsto \gamma (t)=r\cdot e^{i\cdot t}$ das Wegintegral $\int \limits _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z$
• Berechnen Sie die Länge des Weges $L(\gamma )$ mit $t\mapsto \gamma (t)=r\cdot e^{i\cdot t}$.

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie
• Kurvenintegral

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