Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen
Einführung Bearbeiten
Wege in topologischen Räumen sollten die minimale Eigenschaft der Stetigkeit besitzen. Daher die folgende grundlegende Definition.
Definition - Weg in einem topologischen Raum Bearbeiten
Sei ein Interval und topologischer Raum mit Topologie . Eine Abbildung:
heißt Weg in , wenn die Abbildung stetig ist. Das Intervall besitzt dabei Relativtopologie der vom Betrag induzierten Topologie auf .
Bemerkung - Relativtopologie Bearbeiten
Wenn eine offene Menge in ist, dann ist per Definition eine offene Menge in - also:
Definition - Spur eines Weges Bearbeiten
Sei ein Interval und topologischer Raum mit Topologie . Ferner sei ein Weg in der
gegeben. Die Spur von in bezeichnet dann die Menge aller Bildpunkte in .
Beispiel - Aufgabe Bearbeiten
Wir betrachten nun den Vektorraum der stetigen Funktionen . Die Topologie wir dabei von einem System von Halbnormen erzeugt:
wird zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.
- Die Funktionen und mit und liegen in .
- Plotten Sie mit einen Schieberegeler in Geogebra die Funktionen .
Animation für Weg in Funktionenräumen Bearbeiten
Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen für von zwei Funktionen[1] und dar. Der rote Graph visualisiert den Weg von nach im Funktionenraum.
- Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File
Bemerkung - Bildpunkte der Spur Bearbeiten
Die dargestellten Konvexkombinationen sind Bildpunkte in der Spur des Weges . Verwechseln Sie das bitte nicht mit dem Graph der dargestellten Funktion zum Zeitpunkt . Die Animation als Ganzes ist eher mit einem Graphen eine Funktion zu vergleichen, bei der man Weg in dem Funktionenraum von nach beobachten kann.
Bemerkung - Weg in einem Funktionenraum Bearbeiten
Berücksichtigen Sie dabei, dass eine Funktion ist, die Sie in Geogebra für einen Ausschnitt des Definitionsbereiches an der Stelle mit auswerten und den Gaph von in darstellen
CAS4Wiki - Wege im dreidimensionalen Raum Bearbeiten
Nutzen Sie nun den folgenden Link, der CAS4Wiki mit einer vordefinierten Kurve im lädt und mit dem Bernsteinpolynom die Kurve im in plotten kann.
CAS4Wiki-Befehle Bearbeiten
Der CAS4Wiki-Link enthält
- 4 vordefiniert Vektoren unter Variables,
- 2 vordefinierte Kurven im mit den beiden Funktionen und der Konvexkombination mit dem Bernsteinpolynom, dass wie folgt definiert ist.
Plotergebnis Bearbeiten
Ausgeführt wird der ausgewählte Befehl mit dem Execute/Play-Button (Dreieck). Wenn man die jeweiligen Definitionen der Kurven auswählt erscheinen die folgenden beiden Plots.
Siehe auch Bearbeiten
Quellennachweis Bearbeiten
- ↑ Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )
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