Kurs:Funktionentheorie/Wege

Definition: Weg

Gegeben sei eine Teilmenge $U\subset \mathbb {C}$. Ein Weg in $U$ ist eine stetige Abbildung mit

$\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ mit $a<b$ und $a,b\in \mathbb {R}$.

Definition: Spur eine Weges

Die Spur eines Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ in $U\subset \mathbb {C}$ ist das Bild der Funktion $\gamma$.

$\mathrm {Spur} (\gamma ):=\{\gamma (t)\in \mathbb {C} \ |\ t\in [a,b]\}$

Definition: Geschlossener Weg

Gegeben sei ein Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ in $U\subset \mathbb {C}$. Die Abbildung $\gamma$ heißt geschlossener Weg wenn gilt:

$\gamma (a)=\gamma (b)$

Definition: Bereich

Sei $U\subset \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge $\mathbb {C}$. Dann nennt man $U$ Bereich.

Definition: wegzusammenhängend

Sei $U\subset \mathbb {C}$ eine nicht-leere Menge.

$U$ wegzusammenhängend $:\Longleftrightarrow \ \forall _{z_{1},z_{2}\in U}\exists _{\gamma \colon [a,b]\rightarrow U}:\ \gamma (a)=z_{1}\wedge \gamma (b)=z_{2}\wedge Spur(\gamma )\subseteq U$

Definition: Gebiet

Sei $G\subset \mathbb {C}$ eine nicht-leere Teilmenge $\mathbb {C}$. Ist

• $G$ offen
• $G$ wegzusammenhängend

Dann nennt man $G$ ein Gebiet $\mathbb {C}$.

Beispiel (Kreiswege)

Es seien $z_{o}\in \mathbb {C}$ und eine komplexe Zahl und $r>0$ als Radius gegeben. Dazu definiert man einen Kreisweg $\gamma _{z_{o},r}\colon [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C}$ um $z_{o}\in \mathbb {C}$ als:

$\gamma _{z_{o},r}(t):=z_{o}+r\cdot e^{i\cdot t}$

Beispiel - Wege mit Ellipse als Spur

Es seien $z_{o}\in \mathbb {C}$ und eine komplexe Zahl und $a,b>0$ als Halbachsen einer Ellipse gegeben. Dazu definiert man einen elliptischen Weg $\gamma _{z_{o},a,b}\colon [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C}$ um $z_{o}\in \mathbb {C}$ als:

$\gamma _{z_{o},a,b}(t):=z_{o}+a\cdot \cos(t)+i\cdot b\cdot \sin(t)$

Gärtnerkonstruktion einer Ellipse

Konvexkombinationen

Es seien $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komplexe Zahlen und $t\in [0,1]$ als Skalar gegeben. Damit definiert man einen Weg $\gamma _{z_{1},z_{2}}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {C}$, der die Verbindungsstrecke zwischen $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ als Spur beinhaltet:

$\gamma _{z_{1},z2}(t):=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}$

Einen solchen Weg nennt man Konvexkombination 1. Ordnung (siehe auch Konvexkominationen höherer Ordung)

Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung

Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation

Integrationweg

Gegeben sei ein Gebiet $G\subset \mathbb {C}$. Ein Integrationsweg in $G$ ist ein Weg, der stückweise stetig differenzierbar ist mit

$\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ mit $a<b$ und $a,b\in \mathbb {R}$.

Bemerkung

Ein Integrationweg kann z.B. durch stückweise durch Konvexkombinationen zwischen mehreren Punkten $z_{1},\ldots z_{n}\in \mathbb {C}$ ausgedrückt werden. Der gesamte Weg damit insbesondere an den Punkten $z_{1},\ldots z_{n}\in \mathbb {C}$ nicht notwendig differzierbar. Die Spur eines solchen Weges nennt man auch Polygonzug.

Siehe auch

• Ellipse
• Konvexkombination
• Wege in topologischen Vektorräumen

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