Kurvenintegral

Einleitung

Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).

Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.

Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral^[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol $\textstyle \oint$ geschrieben.

Reelle Wegintegrale

Gegeben ist ein Weg $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ , der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ abbildet. $\gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert $t\in [a,b]$ befindet.

Dabei unterscheidet man

Wegintegral erster Art und
Wegintegral zweiter Art.

Wegintegral erster Art

Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld

Das Wegintegral einer stetigen Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ist definiert als

\int \limits _{\gamma }\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\,\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t.

Ableitung des Weges

Dabei bezeichnet ${\gamma \,}'$ den Ableitung von $\gamma$ nach $t$ . Dabei ist $\gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ und ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von $\gamma =(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ an.

Bemerkung - Komponentenfunktionen

Die Komponentenfunktionen $\gamma _{i}:[a,b]\to \mathbb {R}$ sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann.

Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung

Als differnzierbaren Weg wird zuerst $\gamma$ definiert mit

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &\gamma \left(t\right)={\begin{pmatrix}5\cdot \cos(t)\\3\cdot \sin(t)\end{pmatrix}}\end{array}}

Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3.

Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum

Die Ableitung ${\gamma }'$ des Weges $\gamma$ ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen

{\begin{array}{rrcl}{\gamma }':&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &{\gamma }'\left(t\right)={\begin{pmatrix}-5\cdot \sin(t)\\3\cdot \cos(t)\end{pmatrix}}\end{array}}

Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum

Nun sei $\gamma (t)=(\cos(t),\sin(t),t)\in \mathbb {R} ^{3}$ und ${\gamma \,}'(t)=(-\sin(t),\cos(t),1)\in \mathbb {R} ^{3}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{3}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$ an.

Aufgabe

Zeichnen Sie die Spur des Weges im $\mathbb {R} ^{2}$ (Ellipse) und plotten Sie die Spur des Weges im $\mathbb {R} ^{3}$ mit CAS4Wiki-Plots.

Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges

$\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}$ gibt die euklidische Norm des Vektors ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ an.

Bildmenge des Weges - Spur

Die Bildmenge ${\mbox{Spur}}(\gamma ):={\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])$ einer stückweise glatte Kurve in $\mathbb {R} ^{n}$ darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve verwechseln, der eine Teilmenge vom $[a,b]\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Anmerkungen

Ein Beispiel für eine solche Funktion $f$ ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten.
Ein Weg $\gamma$ kann eine Kurve ${\mathcal {C}}$ entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
Für $f\equiv 1$ ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges $\gamma$ .
Der Weg $\gamma$ bildet u. a. $a\in \mathbb {R}$ auf den Anfangspunkt der Kurve ab und $b\in \mathbb {R}$ auf deren Endpunkt.
$t\in [a,b]$ ist ein Element der Definitionsmenge von $\gamma$ und steht allgemein nicht für die Zeit. $\mathrm {d} t$ ist das zugehörige Differential.

Wegintegral zweiter Art

Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld

Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld

\mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus $\mathbf {f} \circ \gamma$ und ${\dot {\gamma }}$ :

\int \limits _{\gamma }\!\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\!\langle \mathbf {f} (\gamma (t)),{{\gamma }\,}'(t)\rangle \,\mathrm {d} t

Einfluss der Parametrisierung

Sind $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ und $\eta \colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}$ einfache (d. h., $\gamma _{|(a,b)}$ und $\eta _{|(c,d)}$ sind injektiv) Wege mit $\gamma (a)=\eta (c)$ und $\gamma (b)=\eta (d)$ und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang $\gamma$ und $\eta$ überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden.

Kurvenintegrale

Da eine Kurve ${\mathcal {C}}$ das Bild eines Weges $\gamma$ ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.

Kurvenintegral 1. Art

\int \limits _{\mathcal {C}}\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\cdot \|{{\gamma }\,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t

Kurvenintegral 2. Art

\int \limits _{\mathcal {C}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\langle \mathbf {f} (\gamma (t)),{{\gamma }\,}'(t)\rangle \,\mathrm {d} t

Länge einer Kurve

Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch $\gamma$ parametrisierten Kurve ${\mathcal {C}}$ :

\mathrm {L{\ddot {a}}nge\ von\ } {\mathcal {C}}=\int \limits _{\mathcal {C}}1\,\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t

Wegelement und Längenelement

Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck

\mathrm {d} s=\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t

heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck

\mathrm {d} \mathbf {x} ={\gamma \,}'(t)\,\mathrm {d} t

heißt vektorielles Wegelement.

Rechenregeln

Seien $\int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )$ , $\int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )$ Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen $\mathbf {f}$ und $\mathbf {g}$ von gleicher Dimension und sei $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ . Dann gelten für $\alpha$ , $\beta \in \mathbb {R}$ und $c\in \mathbb {[} a,b]$ die folgenden Rechenregeln:

$\alpha \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma }(\alpha \mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \mathbf {g} (\mathbf {x} ))$ (Linearität)

$\int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )$ (Zerlegungsadditivität)

Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven

Ist $\gamma$ ein geschlossener Weg, so schreibt man

statt

\displaystyle \int \limits _{\gamma }

auch

\displaystyle \oint \limits _{\gamma }

und analog für geschlossene Kurven ${\mathcal {C}}$

statt

\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}

auch

\displaystyle \oint \limits _{\mathcal {C}}

.

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass $\gamma$ geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

Beispiele

Ist ${\mathcal {C}}$ der Graph einer Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ , so wird diese Kurve durch den Weg

\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))

parametrisiert. Wegen

\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}={\sqrt {1+f'(t)^{2}}}

ist die Länge der Kurve gleich

\int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.

Eine Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$ wird durch $(a\cos t,\,b\sin t)$ für $t\in [0,2\pi ]$ parametrisiert. Ihr Umfang ist also

\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t

.

Dabei bezeichnet

\varepsilon

die numerische Exzentrizität

{\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}

der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.

Wegunabhängigkeit

Ist ein Vektorfeld $\mathbf {F}$ ein Gradientenfeld, d. h., $\mathbf {F}$ ist der Gradient eines skalaren Feldes $V$ , mit

\mathbf {\nabla } V=\mathbf {F}

,

so gilt für die Ableitung der Verkettung von $V$ und $\mathbf {r} (t)$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))=\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)

,

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über $\mathbf {F}$ auf $\mathbf {r} (t)$ entspricht.

Abhängigkeit von Integralgrenzen 1

Daraus folgt für eine gegebene Kurve ${\mathcal {S}}$

\int \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=V(\mathbf {r} (b))-V(\mathbf {r} (a)).

Zwei beliebige Kurven

{\mathcal {S}}1

und

{\mathcal {S}}2

in einem Gradientenfeld

Abhängigkeit von Integralgrenzen 2

Dies bedeutet, dass das Integral von $\mathbf {F}$ über ${\mathcal {S}}$ ausschließlich von den Punkten $\mathbf {r} (b)$ und $\mathbf {r} (a)$ abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.

Bemerkung - geschlossene Wege - Ringintegral

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve ${\mathcal {S}}$ mit zwei beliebigen Wegen ${\mathcal {S}}_{1}$ und ${\mathcal {S}}_{2}$ :

\oint \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{1,{\mathcal {S}}_{1}}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} +\int \limits _{2,{\mathcal {S}}_{2}}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =0

Anwendung in der Physik

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet.

Skalare Felder - Potentielle Energie

Das skalare Feld $V$ ist dabei das Potential oder die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Umlaufzahl - Windungszahl

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

Die Kurve

\gamma

umläuft das Zentrum

z_{0}

zweimal

Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung $U$ eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von $U$ proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).

Bemerkung - Komplexe Wegintegrale

Ersetzt man $\mathbb {R} ^{n}$ durch $\mathbb {C}$ behandelt man komplexe Wegintegrale, die in der Funktionentheorie behandelt werden.

Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.

Einzelnachweise

↑ Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.

Siehe auch

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Datum: 20.10.2024
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[1] Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.

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