Kurs:Funktionentheorie/Kurven

Einführung

In der Mathematik ist eine Kurve (von lat. curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt in einer zweidimensionalen Ebene (d.h. eine Kurve in der Ebene) oder in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve).

Parameterdarstellungen

Mehrdimensionale Analysis: Eine stetige Abbildung $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ist eine Kurve im $\mathbb {R} ^{n}$ .
Funktionentheorie: Eine stetige Abbildung $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ ist ein Weg im $\mathbb {C}$ (siehe auch Integrationsweg).

Erläuterungen

Eine Kurve/ein Weg ist eine Abbildung. Dabei muss man die Spur des Weges bzw. das Bild eines Weges von dem Graph der Abbildung unterscheiden. Ein Weg ist (abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum (z.B. $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C}$ ).

Beispiel 1 - Plot

$\gamma _{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},$ $t\mapsto \gamma _{1}(t)={\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}$

Beispiel 1 - Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung

$\gamma _{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},$ $t\mapsto \gamma _{1}(t)={\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}$ bzw. $y^{2}=x^{2}(x+1)$ .

Bestimmen Sie für die Kurve alle $(t_{1},t_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $\gamma _{1}(t_{1})=\gamma _{1}(t_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$

Beispiel 1 - Berechnung der Lösungsmenge

Da $y^{2}\geq 0$ und auch $x^{2}\geq 0$ gilt, muss für eine Lösung $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ auch $x+1\geq 0$ und damit $x\geq -1$ gelten.

{\begin{array}{rclc}y^{2}&=&x^{2}(x+1)&\Leftrightarrow \\y&=&\pm {\sqrt {x^{2}(x+1)}}&\end{array}}

Plotten Sie nun den Graphen von $f_{1}(x)=+{\sqrt {x^{2}(x+1)}}$ und $f_{2}(x)=-{\sqrt {x^{2}(x+1)}}$ (z.B. in Maxima CAS, Geogebra, CAS4Wiki).

Beispiele 2

Die Abbildung

${\widetilde {\gamma _{2}}}\colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto {\widetilde {\gamma _{2}}}(t)=(\cos t,\sin t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ .

$\gamma _{2}\colon [0,2\pi )\to \mathbb {C} ,\quad t\mapsto \gamma _{2}(t)=\cos(t)+i\sin(t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Gaußschen-Zahlenebene $\mathbb {C}$ .

Beispiele 3

Die Abbildung

\gamma _{3}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \gamma _{3}(t)={\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}

beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei $(0,0)$ , entsprechend den Parameterwerten $t=1$ und $t=-1$ .

Richtungssinn

Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen Richtungssinn in der Richtung wachsenden Parameters.^[1]^[2]

Spur Kurve eines Weges

Die Spur oder Kurve eines Weges $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ bzw. $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ist das Bild eines Weges

Spur(\gamma ):=\left\{(t,\gamma (t))\ |\ a\leq t\leq b\right\}

.

Unterschied - Graph und Kurve

Für einen Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ ist die Spur oder die Kurve eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$ , während der Graph der Funktion $Graph(\gamma )\subset \mathbb {R} ^{3}$ ist.

Aufgabe - Plot Graph und Kurve

Plotten Sie mit CAS4Wiki den Graphen und die Kurve von:

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,6\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &\gamma (t)=\left(3\cdot \cos(t),\sin(t)\right)\end{array}}

Animation der Spur

Die folgende Animation zeigt die Animation einer Abrollkurve von zwei Kreisen.

Kurven in Geogebra

Erzeugen Sie zunächst einen Schieberegeler für die Variable $t\in [0,2\pi ]$ und zwei Punkte $K_{1}=(2\cos(t),2\sin(t))\in \mathbb {R} ^{2}$ bzw. $K_{2}=(\cos(3t),\sin(3t))\in \mathbb {R} ^{2}$ und erzeugen Sie mit $K:=K_{1}+K_{2}$ die Summe der beide Ortsvektoren von $K_{1}$ und $K_{2}$ . Analysieren Sie die Parametrisierung der Kurven. Geogebra: K_1:(2*cos(t),2 * sin(t)) , K_2:(cos(3*t),sin(3*t)) , K: K_1+K_2

\gamma _{4}(t):=(2\cos(t),2\sin(t))+(\cos(3t),\sin(3t))\in \mathbb {R} ^{2}

Siehe auch interaktives Beispiel in Geogebra

Gleichungsdarstellungen

Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Die Lösungsmenge der Gleichungen stellt die Kurve dar:

Die Gleichung $x^{2}+y^{2}=1$ beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
Die Gleichung $y^{2}=x^{2}(x+1)$ beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Wird die Gleichung durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

f\colon D\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto f(x)

kann entweder als Parameterdarstellung $\gamma \colon D\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))\}$ oder als Gleichung $y=f(x)$ dargestellt werden, wobei die Lösungsmenge der Gleichung die Kurve durch $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}$ darstellt.

Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.

Geschlossene Kurven

Geschlossene Kurven $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$ sind stetige Abbildungen mit $\gamma (a)=\gamma (b)$ . In der Funktionentheorie benötigen wir Kurven $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$ in $\mathbb {C}$ , die stetig differenzierbar sind. Diese nennt man Integrationswege.

Umlaufzahl in den komplexen Zahlen

Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Umlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$ durch

\mu (\gamma ,z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {1}{\xi -z}}\,d\xi :=\int _{a}^{b}{\frac {1}{\gamma (t)-z}}\cdot \gamma '(t)\,dt

gegeben ist. Der Umlaufsatz besagt analog zu einer Kurve im $R^{2}$ , dass eine einfache geschlossene Kurve die Umlaufzahl $1$ oder $-1$ besitzt.

Kurven als eigenständige Objekte

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden $\mathbb {R}$ oder zur Einheitskreislinie $S^{1}$ ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Historisches

Das erste Buch der Elemente von Euklid begann mit der Definition

Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite.

Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ , die die gesamte Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ausfüllen. Andererseits folgt aus dem Lemma von Sard, dass jede differenzierbare Kurve den Flächeninhalt null, also tatsächlich wie von Euklid gefordert keine Breite hat.

Interaktives Darstellungen von Kurven in Geogebra

Tangentialvektor einer Kurve im $\mathbb {R} ^{2}$ für eine Kurve $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ mit Tangentialvektor $\gamma ':[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$
Abrollkurven Fahrradreflektoren als Beispiel für Kurven - Zykloide
Abrollkurve für Beispiel 2

Siehe auch

Literatur

Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Einzelnachweise

↑ H. Neunzert, W.G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 2. Auflage. Springer, 2013, lSBN 978-3-642-97840-1, 23.5
↑ H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Walter de Gruyter, 1994, lSBN 978-3-486-78544-9