Kurs:Funktionentheorie/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit

n-fache reelle Differenzierbarkeit

Die Funktion

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ mit $x\mapsto f(x)=|x|\cdot x$

kann einmal reell differenzieren. Die erste Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

Aufgabe

• Skizzieren Sie den Graphen der Funktionen $f$ und $f'$.
• Lässt sich die Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ zu einer holomorphen Funktion $F:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,$ erweitern, bei der $F_{|\mathbb {R} }=f$ (d.h. für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $f(x)=F(x)$? Begründen Sie Ihre Antwort mit den Eigenschaften holomorpher Funktionen!
• Zeigen Sie, dass Funktion

$f_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ mit $x\mapsto f(x)=|x|\cdot x^{n}$

kann $n$-fach reell differenziert werden kann. Die $n+1$-te Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

Bemerkung

In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wird man sehen, dass eine auf $U\subseteq \mathbb {C}$ holomorphe Funktion $f:U\to \mathbb {C}$ automatisch ununendlich oft komplex differenzierbar ist, wenn diese bereits einmal auf $U$ komplex differenzierbar ist (siehe Holomorphiekriterien).

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie