Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue

Es sei   ein Gebiet und   eine holomorphe, nicht konstante Funktion. Dann ist   ein Gebiet.

Bei Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass   ein Gebiet ist, d.h. die Menge  

  • ist zusammenhängend und
  • offen.

Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile.

Beweis 1: zusammenhängend

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Wir zeigen, dass aus   stetig und   zusammenhängend folgt, dass auch   zusammenhängend ist.

Beweis 2: zusammenhängend

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Seien   beliebig gewählt. Dann gibt   mit   und  . Da   zusammenhängend ist, gibt es ein Weg   mit   und  .

Beweis 3: zusammenhängend

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Weil   stetig ist und   ein stetig Weg in   ist, so ist auch  ein stetiger Weg in  , für den gilt:

  und  

Beweis 4: offen

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Es bleibt zu zeigen, dass   offen ist, sei dazu   und   mit  . Wir betrachten nun die Menge der  -Stellen

 

Beweis 5: offen - Identitätssatz

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Nach dem Identitätssatz kann die Menge   keine Häufungspunkte in   haben. Hätte eine   Häufungspunkte in  , dann wäre die holomorphe Funktion   konstant mit   für alle  .

Beweis 6: offen - Umgebungen

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Wenn die Menge   der  -Stellen von   keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung   von   so wählen, in der   die einzige  -Stelle ist. Sei   so gewählt, dass   gilt.

Beweis 7: offen

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Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von   zu  , wobei   auf dem Kreisrand von   liegt.

 

Dabei ist  , weil   stetig ist und auf der kompakten Menge   ein Minimum annimmt. Mit   kann auf dem Rand keine  -Stellen liegen.

Beweis 8: offen - Maximumsprinzip

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Wir zeigen, dass   gilt. Sei dazu  . Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige   als Bild von   getroffen wird.

Beweis 9: offen - Maximumsprinzip

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Angenommen, es wäre   für alle  . Dann nimmt   mit   auf   ein von Null verschiedenes Minimum an. Da   nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf   liegen (sonst ist   nach dem Maximumprinzip konstant. Wenn   konstant ist, müsste dann auch   konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung).

Beweis 9: offen

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Da   beliebig gewählt wurde und für jedes   eine  -Umgebung   erhalten, die in   ist   als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.

Siehe auch

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